Me ajudem é urgente por favor!!!!!! urgentee

 
 
2)

O polinômio P(x)= x⁴ - 4x³ + 13x² - 36x + 36  é divisível por (x-2)².

Calcule P(2) e resolva a equação P(x)=0

 
Suellen P.
Suellen
perguntou há 7 dias

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Professor Pedro P.
Respondeu há 6 dias

Boa madrugada!

1) Neste exercício temos o polinômio em que é um valor desconhecido. Porém, sabemos que é divisível por . Sendo assim, vamos efetuar esta divisão de polinômios.  Segue o desenvolvimento da divisão (não sei se ficou muito claro, devido a limitação do Profes para inserir fórmulas e tabelas)

 x³ - kx² +     6x - 1 x-1
-x³ +  x² + (1-k)x + (7-k)
  (1-k)x² +     6x - 1
 
 -(1-k)x² + (1-k)x
 
            (7-k)x - 1
 
           -(7-k)x +(7-k)
 
                     6-k
 

Sabemos que ao dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x) (com grau menor que P) obtemos um quociente Q(x) e um resto R(x), de modo que

Dizemos que é divisível por quando . De forma que . Observe que P(x) também é divisível por Q(x) (similar ao que acontece com os números inteiros).

Como foi dito pelo enunciado que é divisível por , então o resto dessa divisão deve ser nulo. Ao efetuar a divisão obtivemos que . Se , então , logo .

Sabemos que P(x) também é divisível por . Substituindo k pelo valor que encontramos, obtemos .

Logo, P(x) é divisível por x²-5x+1. Alternativa A.

2) Para obter P(2) basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 2. Ou seja:

Agora, precisamos resolver a equação . Já sabemos que , porém como P(x) é um polinômio de grau 4, ele pode ter até 4 raizes diferentes.

O enunciado nos informa que P(x) é divisível por D(x) = (x-2)² = x² - 4x + 4. Com essa informação, sabemos que podemos reescrever P(x) como sendo . Isto pode facilitar a determinação das raízes, pois P(x) só irá resultar em 0 quando D(x) = 0 ou Q(x) = 0, e estes serão polinômios de grau menor que 4. Ainda falta obtermos o polinômio Q(x), para isso iremos efetuar a divisão de P(x) por D(x):

 x - 4x³ + 13x² - 36x + 36
x² - 4x + 4
-x + 4x³ -  4x²
+ 9
          -  9x² - 36x + 36
 
          -  9x² + 36x - 36
 
                          0
 

Logo . Se P(x) = 0, então (x-2)² = 0 (I) ou x² + 9 = 0 (II)

I)

II)

Caso o problema admita solução nos números complexos, então:

Por tanto, as raízes de P(x) são 2, 3i e -3i (ou apenas 2 se o problema só admitir soluções reais)

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Professor Eric A.
Respondeu há 6 dias

1) Como o polinômio p(x) é divisível por (x-1), então o teorema do resto garante que p(1)=0.

Ou seja,

Basta dividir os polinômios 

P(x) por (x-1).

  ÷ (x-1)

                      

             

                               

                                   ( 0 )

Logo, P(x) também é divisível por 

2) Como P(x)  é divisível por 

Como q(2) = 0, então p(2) = 0

 

Além disso,

Basta dividir p(x) por q(x) e podemos encontrar as raízes (a solução) de p(x)=0.

                           Por

Resultado:

Portando, 

As soluções de p(x) = 0 é 

Sol= { 2,2,-3i,3i} onde a raiz 2 tem multiplicidade (repetição) 2.

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