O polinômio P(x)= x⁴ - 4x³ + 13x² - 36x + 36 é divisível por (x-2)².
Calcule P(2) e resolva a equação P(x)=0
Boa madrugada!
1) Neste exercício temos o polinômio em que
é um valor desconhecido. Porém, sabemos que
é divisível por
. Sendo assim, vamos efetuar esta divisão de polinômios. Segue o desenvolvimento da divisão (não sei se ficou muito claro, devido a limitação do Profes para inserir fórmulas e tabelas)
| x³ - kx² + 6x - 1 | x-1 |
| -x³ + x² | x² + (1-k)x + (7-k) |
| (1-k)x² + 6x - 1 |
|
| -(1-k)x² + (1-k)x |
|
| (7-k)x - 1 |
|
| -(7-k)x +(7-k) |
|
| 6-k |
Sabemos que ao dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x) (com grau menor que P) obtemos um quociente Q(x) e um resto R(x), de modo que
Dizemos que é divisível por
quando
. De forma que
. Observe que P(x) também é divisível por Q(x) (similar ao que acontece com os números inteiros).
Como foi dito pelo enunciado que é divisível por
, então o resto dessa divisão deve ser nulo. Ao efetuar a divisão obtivemos que
. Se
, então
, logo
.
Sabemos que P(x) também é divisível por . Substituindo k pelo valor que encontramos, obtemos
.
Logo, P(x) é divisível por x²-5x+1. Alternativa A.
2) Para obter P(2) basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 2. Ou seja:
Agora, precisamos resolver a equação . Já sabemos que
, porém como P(x) é um polinômio de grau 4, ele pode ter até 4 raizes diferentes.
O enunciado nos informa que P(x) é divisível por D(x) = (x-2)² = x² - 4x + 4. Com essa informação, sabemos que podemos reescrever P(x) como sendo . Isto pode facilitar a determinação das raízes, pois P(x) só irá resultar em 0 quando D(x) = 0 ou Q(x) = 0, e estes serão polinômios de grau menor que 4. Ainda falta obtermos o polinômio Q(x), para isso iremos efetuar a divisão de P(x) por D(x):
| x |
x² - 4x + 4 |
| -x |
x² + 9 |
| - 9x² - 36x + 36 |
|
| - 9x² + 36x - 36 |
|
| 0 |
Logo . Se P(x) = 0, então (x-2)² = 0 (I) ou x² + 9 = 0 (II)
I)
II)
Caso o problema admita solução nos números complexos, então:
Por tanto, as raízes de P(x) são 2, 3i e -3i (ou apenas 2 se o problema só admitir soluções reais)
1) Como o polinômio p(x) é divisível por (x-1), então o teorema do resto garante que p(1)=0.
Ou seja,
Basta dividir os polinômios
P(x) por (x-1).
÷ (x-1)
( 0 )
Logo, P(x) também é divisível por
2) Como P(x) é divisível por
Como q(2) = 0, então p(2) = 0
Além disso,
Basta dividir p(x) por q(x) e podemos encontrar as raízes (a solução) de p(x)=0.
Por
Resultado:
Portando,
As soluções de p(x) = 0 é
Sol= { 2,2,-3i,3i} onde a raiz 2 tem multiplicidade (repetição) 2.
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