Questão 1
Considere o polinômio P(x)= x³-x²+ax-a em que a é um número real. Se x=1 é a única raiz real de P(x) então, pode-se afirmar que
Seja p um polinômio de grau 4 dado por p(x)=(x+1)⁴ . Com essa informação, assinale a(s) proposição(ões) correta(s) e, em seguida, comente-as.
I. O polinômio p é igual a p(x)= x⁴+4x³+6x²+4x+1.
II. O único número real no qual p se anula é x=-1.
III. Se k é um polinômio dado por k(x)= x⁴+4x³+6x²+4x+3 , então o menor valor possível para o polinômio k, quando x varia em todo o conjunto dos números reais, é 2.
IV. O coeficiente do termo de expoente 5 do polinômio dado por p(x).(x-1)⁴ é igual a 1.
Questão 1. Se 1 é raiz de p(x) = x³-x²+ax-a, então este polinômio é divisível por (x-1). Para fazer essa divisão, usamos Briot-Ruffini:
| 1 | 1 | -1 | a | -a |
| 1 | 0 | -a | 0 |
Assim, obtemos:
Então as outras duas raízes de p(x) são as raízes de x² - a, são elas:
Como a única raiz real de p(x) é 1, então a gente conclui que a < 0, porque desta maneira raiz quadrada de a é um número complexo não real.
Questão 2. Temos p(x) = (x+1)^4 .
Afirmação I é verdadeira: você pode verificar isso calculando diretamente
Ou você pode usar a fórmula:
fazendo a = x, b = 1 e n = 4, onde C(n,k) = n!/(k!(n-k)!).
Afirmação II está correta também. Como p(x) = (x - 1)^4, então 1 é sua raiz com multiplicidade 4.
Afirmação III está correta.
Se k(x)= x?+4x³+6x²+4x+3, então k(x) = p(x) + 2.
Note que p(x) é sempre maior ou igual a 0, para todo x real. Para ver isso, escreve y = (x+1)^2, então p(x) = y^2 e o quadrado de todo número real é sempre maior ou igual a 0.
Com isso, o valor mínimo de k(x) vai ser o valor mínimo de p(x) mais 2.
O valor mínimo de p(x) é 0, logo o valor mínimo de k(x) é 0 + 2 = 2.
Afirmação IV é falsa.
Fazendo a conta, obtemos:
Portanto, o coeficiente do termo x^5 é igual a 0, e não 1.
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