Uma série infinita é definida como a soma dos infinitos termos de uma sequência. Usualmente, denotamos uma série infinita por onde
é denominado o termo geral da série. No estudo de séries infinitas, estamos mais interessados em estudar a convergência da série em vez de determinar o valor de sua soma. Isso acontece devido ao fato de que, muitas vezes, não conseguimos determinar este valor. Contudo, determinar a convergência da série é bem mais simples. Com relação à convergência de uma série, estudamos vários testes para esta finalidade, como o Teste da Comparação, o Teste da Razão e o Teste da Integral.
Utilize um dos testes citados para mostrar que a série é absolutamente convergente.
Acho que falta colocar a serie.
Como não foi especificada uma série para analisar, vamos apresentar um exemplo utilizando o Teste da Comparação para mostrar a convergência absoluta de uma série:
Considere a série infinita:
?(n=1 até infinito) (1/n^2 + 1/?n)
Para mostrar que essa série é absolutamente convergente, ou seja, que a soma dos módulos dos termos da série é finita, podemos utilizar o Teste da Comparação.
Primeiramente, note que para todo n ? 1, temos que:
|1/n^2 + 1/?n| ? 1/n^2 + 1/n^(1/2)
Agora, vamos comparar nossa série com a série de termos |1/n^2 + 1/n^(1/2)|:
?(n=1 até infinito) |1/n^2 + 1/?n| ? ?(n=1 até infinito) (1/n^2 + 1/n^(1/2))
Se conseguirmos mostrar que a série de termos |1/n^2 + 1/n^(1/2)| é convergente, então a série original também será convergente (e, portanto, absolutamente convergente).
Para isso, vamos utilizar o Teste da Comparação com a série de termos 1/n^(3/2):
Como 1/n^2 ? 1/n^(3/2) para todo n ? 1, temos que:
?(n=1 até infinito) 1/n^2 ? ?(n=1 até infinito) 1/n^(3/2)
A série de termos 1/n^(3/2) é conhecida como uma série de Riemann, que é convergente para p > 1. No nosso caso, p = 3/2, portanto a série de termos 1/n^(3/2) é convergente.
Logo, pelo Teste da Comparação, temos que a série de termos |1/n^2 + 1/n^(1/2)| também é convergente.
Assim, concluímos que a série original ?(n=1 até infinito) (1/n^2 + 1/?n) é absolutamente convergente.
