Mostrar que para quaisquer dois conjuntos A e B finitos, val

Vamos demonstrar que para quaisquer dois conjuntos finitos $A$ e $B$, a seguinte relação é válida:

Aqui estão os passos para a demonstração:

1. Entendimento Inicial:
2. $n(A)$ representa o número de elementos no conjunto $A$.
3. $n(B)$ representa o número de elementos no conjunto $B$.

4. $n(A\cap B)$ representa o número de elementos no conjunto de interseção entre $A$ e $B$, ou seja, elementos comuns a ambos os conjuntos.

5. Contagem dos Elementos em $A\cup B$:

6. $A\cup B$ é o conjunto que contém todos os elementos que estão em $A$ ou em $B$, ou em ambos.

7. Para contar os elementos em $A\cup B$, começamos somando o número de elementos em $A$ ($n(A)$) e o número de elementos em $B$ ($n(B)$).

8. Ajuste para Elementos Contados Duas Vezes:

9. Ao somar $n(A)+n(B)$, os elementos que estão em $A\cap B$ são contados duas vezes (uma vez em $n(A)$ e outra em $n(B)$).

10. Assim, precisamos subtrair os elementos que foram contados duas vezes, ou seja, subtrair $n(A\cap B)$.

11. Conclusão:

12. Portanto, a contagem correta dos elementos no conjunto $A\cup B$ é dada por: $$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

Essa é uma aplicação do Princípio da Inclusão-Exclusão, que permite ajustar a contagem quando há sobreposição entre os conjuntos envolvidos.

Assim, a identidade está demonstrada.