Mostrar que para todo conjunto finito A, vale o seguinte: n

Para demonstrar que $n(P(A))=2^{n(A)}$, onde $P(A)$ é o conjunto das partes de $A$ e $n(A)$ é o número de elementos em $A$, vamos considerar as propriedades dos conjuntos e as definições envolvidas.

1. Definição do Conjunto das Partes:

O conjunto das partes de $A$, denotado $P(A)$, é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$. Isso inclui o conjunto vazio $\varnothing$ e $A$ próprio, além de todos os possíveis subconjuntos de $A$.

1. Número de Elementos em um Conjunto Finito:

Se $A$ é um conjunto finito, então podemos representar o número de elementos de $A$ como $n(A)=k$, onde $k$ é algum número inteiro não negativo.

1. Subconjuntos de um Conjunto Finito:

Cada elemento de $A$ tem duas opções para cada subconjunto: ou está no subconjunto ou não está.

• Se o conjunto $A$ tem $k$ elementos, então, ao formar um subconjunto, para cada elemento, temos 2 possibilidades (incluir o elemento no subconjunto ou não incluir).

• Cálculo do Número de Subconjuntos:

Consequentemente, o número total de subconjuntos (incluindo o conjunto vazio e $A$ próprio) é dada por:

Assim, $n(P(A))=2^{n(A)}$, onde $n(A)=k$.

Portanto, demonstramos que para todo conjunto finito $A$, o número de elementos no conjunto das partes $P(A)$ é $2^{n(A)}$. Este resultado é consistente e universal para qualquer conjunto finito $A$.