Mostre que é convergente

Question

Mostre, usando indução, que a +a 2 + ....+ an = an+1-a a-1, para a diferente de 1 e para todo n natural. mostrar que a série Integral a infinito n n=1 converge para a 1-a quando 0 < a < 1.

Lucas G. · Accepted Answer

Base de indução (n=1):
a+a^2+...+a^n = a = a(a - 1) / (a-1) = (a^{1+1} - a) / (a - 1).

Passo indutivo (se vale para um inteiro k >= 1, então vale para k+1):
a + a^2 + . . . + a^{k+1} = (a + a^2 + . . . + a^k) + a^{k+1} = (a^{k+1} - a)/(a-1) + a^{k+1} = ( a^{k+1} - a + (a-1)a^{k+1} ) / (a-1) = (a^{k+2} - a) / (a-1).

Agora mostremos que
$\sum^\infty_{n=1} a^n = \frac{a}{1-a}$
quando $0 < a < 1.$

A série é o limite de (a + a^2 + . . . + a^n) para n tendendo ao infinito. Mas pelo o que foi provado acima, isto é o limite de (a^{n+1} - a)/(a-1) quando n tende ao infinito.
Mas $\lim_{n\to\infty} a^{n+1} = 0$ já que 0 < a < 1. Então pelas propriedades aritméticas de limite, obtemos

$\sum^\infty_{n=1} a^n = \lim_{n\to\infty} \frac{a^{n+1} - a}{a-1} = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} (a^{n+1} - a)}{\lim\limits_{n\to\infty} (a-1)} = \frac{-a}{a-1} = \frac{a}{1-a}.$

Mostre que é convergente

Um professor já respondeu

Envie suas dúvidas pelo App. Baixe agora

Precisa de outra solução? Conheça