Mostre que é trio pitagórico

Question

a)Considere a equação   x^2+y^2=z^2 . Os trios de inteiros  (x,y,z)  diferente(0,0,0)  que satisfazem essa equação são chamados trios pitagóricos. Se mdc (x,y,z) = 1,  dizemos que o trio pitagórico é primitivo. Então, mostre se (x,y,z) é um trio pitagórico  primitivo  então  z  é impar. Sugestão: x^2+y^2=z^2    implica em x^2+y^2=z^2 (mod4). b) dado um trio pitagórico (x,y,z), mostre que um primo  pEZ[i] não pode dividir simultaneamente x+iy  e  x - iy.

Márcio C. · Accepted Answer

a) Podemos resolver a partir da fórmula de Euclides: (x, y, z) é um trio pitagórico primitivo se e somente se existirem inteiros positivos u e v, u > v, u e v primos entre si e não ambos ímpares, tais que (x, y, z) = (u² – v², 2uv, u² + v²).  Além de u e v não poderem ser ambos ímpares, também não podem ser pares entre si, pois senão teríamos ao menos o número 2 como mdc e então o trio (x, y, z) não seria mais pitagórico primitivo. Resta então testar a possibilidade de um ser par e o outro ímpar: u = 2m+1 e v = 2n, onde m e n são inteiros positivos, logo: x² + y² = z²  = (u² + v²)² = ((2m+1)² + (2n)²)² = (4m² + 4m + 1 + 4n²)² = [4(m² + n² + m) + 1]² = (2k+1)² = 4k² + 4k +1 = 2p+1 , que é um número impar, onde k = 2(m² + n² + m) e p = 2k² + 2k.  b) quanto a esta letra não entendi direito,i é um número complexo? teria como postar um link com a questão original?

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