Problema: Considere dois números naturais tais que o MDC deles seja 3 e o MMC seja , ao mesmo tempo , igual ao quádruplo do maior e ao quíntuplo do menor . O valor desses dois números é?
Eu consegui fazer utilizando o seguinte raciocinio, sendo A>B:
MMC.MDC = A.B e MMC.MDC = A.B
4A.3 = A.B 5B.3 = A.B
12 = B 15 = A
Mas no livro "Matemática para vencer" o autor resolve de outra maneira que eu não consigo entender a lógica, sendo A>B:
MMC = x.MDC.y onde x.MDC = A e y.MDC = B (isso eu entendo, o problema vem agora...)
MMC = 5.3.4 sendo A = 5.3 = 15 e B = 3.4 = 12
1ª dúvida: Na resolução do autor, como que ele simplesmente considera o x=5 e y=4? Tipo eu sei que o exercício fala que o MMC=4.A sendo que A = x.MDC e o MDC=3 ficando A = x.3, mas isso significa que o valor de A é 3 vezes algum número que não sabemos, como que o autor presume que esse outro fator a ser multiplicado por 3 é 5?
2ª dúvida: Se o MMC é 4 vezes maior que A = x.3 e 5 vezes maior que B = 3.y , por que ao armar a conta: MMC = x.MMC.y ,ele coloca MMC = 5.3.4 ? Não deveria ser 4.3.5 já que o MMC é 4x maior que A e 5x maior que B, sendo A = x.3 e B = 3.y ?
Perdão por qualquer equivoco da minha da minha parte e obrigado pela ajuda!
Olá, Thiago!
Vamos analisar as dúvidas separadamente:
1ª dúvida: O autor considera x = 5 e y = 4 porque, como você mencionou, o exercício diz que o MMC é quatro vezes o maior número e cinco vezes o menor número. Como A é o maior número e B é o menor número, podemos escrever:
MMC = 4A = 5B
Substituindo A = xMDC e B = yMDC, temos:
MMC = 4xMDC = 5yMDC
Simplificando por MDC em ambos os lados, obtemos:
4x = 5y
Portanto, y deve ser um múltiplo de 4 e x deve ser um múltiplo de 5. O menor valor possível para y é 4, e o menor valor possível para x é 5, então o autor assume esses valores para simplificar a resolução.
2ª dúvida: A equação MMC = xMMCy está incorreta. A equação correta é MMC = xMDCy, já que A = xMDC e B = yMDC. Substituindo as expressões para A e B, temos:
MMC = 4A = 5B MMC = 4xMDC = 5yMDC MMC = xMDCy
Substituindo MMC na terceira equação, obtemos:
4xMDC = 5yMDC 4x = 5y x = 5, y = 4
A partir daí, podemos encontrar A e B:
A = xMDC = 15 B = yMDC = 12
Ficou claro ?
