7. (Unesp 95) Nove times de futebol vão ser divididos
em 3 chaves, todas com o mesmo número de times,
para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada
uma das chaves já tem um cabeça de chave definido.
Nessas condições, o número de maneiras possíveis e
diferentes de se completarem as chaves é:
a) 21.
b) 30.
c) 60.
d) 90.
e) 120
Sejam os grupos:
A __ __ B __ __ C __ __
Onde, A, B e C são os cabeças de chave e já estão definidos, então restam 6 times de modo que fique.
C6,2*C4,2*C2,2 = 15*6*1 = 90
obs= alguém me explica da onde ele tirou esse 6 para formar o calculo e o 2 da questão ?
A resolução desse problema usa combinação. Esse C6,2 significa "combinação de 6 elementos de 2 em 2".
Ele tirou o 6 da quantidade de times que podem ser alocados nesses espaços. Que é a quantidade de times no total menos a quantidade de times que já estão encabeçando . (9-3=6)
O 2 ele tirou da quantidade de espaço que tem em cada chave.
Essa matéria é grande, se precisar de uma aula pra entender isso pode contar comigo.
DADOS DO EXERCÍCIO:
- Torneio de futebol com 9 times divididos igualmente em 3 chaves (cada uma com 3 times)
- Os cabeças de chave estão definidos previamente.
PEDIDO:
O número de maneiras possíveis de se completarem as chaves, ou seja, o número de combinações (pois a ordem entre os 6 times restantes é irrelevante) entre os 6 times restantes, cada 2 restantes em cada uma das 3 chaves
RESOLUCÃO:
Primeiramente sobraram 6 (9 - 3) times para colocar em 2 restantes na primeira chave escolhida por acaso, depois 4 (6 -2)times para colocar em 2 restantes na próxima chave escolhida e finalmente 2 (4-2) times para colocar na terceira e última chave escolhida. Sendo assim,
C6,2 * C4,2 * C2,2 =
= ( (6 * 5) / 2! ) * ( (4 * 3) / 2! ) * ( (2.1) / 2!) =
Simplifcando por 2! ( = 2 * 1 ) teremos
= ( 3 * 5 ) * ( 2 * 3 ) * ( 1 ) =
= 15 * 6 =
= 90, RESPOSTA DO EXERCÍCIO.
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Muito obrigado pela atenção,
Carlos Eduardo
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