Não sei se é exatamente isso o que você quer, mas quando temos dois cenários possíveis
e
. Como todas as potencias do polinômio denominador são pares o resultado será o mesmo, independente do sinal. No caso nós teremos que
e
logo
portanto
quando
Espero ter ajudado.
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Obs: Agora que eu vi que a questão é sobre números complexos. Pela formula de Euler temos que com
temos que
e
. Portanto,
Essa operação representa um vetor que é a somatória de outros três. O vetor é constante em alinhamento com o eixo x dos reais. Os vetores
e
tem uma posição dependente de
. Acredito que dê para provar calculando o módulo da soma desses três vetores, mas ainda não descobri como.
Para resolver a desigualdade dada, podemos começar simplificando o denominador da expressão do lado esquerdo da seguinte forma:
z^4 - 4z^2 + 3 = (z^2 - 1)(z^2 - 3)
Assim, podemos reescrever a desigualdade da seguinte maneira:
1/(z^2 - 1)(z^2 - 3) <= 1/3
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 3(z^2 - 1)(z^2 - 3), obtemos:
3 <= (z^2 - 1)(z^2 - 3)
Vamos agora utilizar a informação dada de que |z| = 2. Como |z| é o módulo de z, temos:
|z|^2 = z*z? = 2^2 = 4
Substituindo z*z? por |z|^2 na expressão (z^2 - 1)(z^2 - 3), temos:
(z^2 - 1)(z^2 - 3) = (z - 1)(z + 1)(z - )(z +
) |z|^2 - 1 = 3 (z^2 - 1)(z^2 - 3) = 2*4 = 8
Assim, podemos reescrever a desigualdade da seguinte forma:
3 <= 8
Como 3 é menor ou igual a 8, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de z tal que |z| = 2. Portanto, podemos concluir que:
1/(z^4 - 4z^2 + 3) <= 1/3, para todo z tal que |z| = 2.
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