No triângulo ABC os pontos P e Q dividem o lado AB em três partes iguais e os segmentos PP' e QQ' são paralelos ao lado BC

Boa noite Itala. Segue anexa uma figura que nos ajuda a explicar a resolução / resposta. Por SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS e TEOREMA DE TALES, temos que O lado vermelho QQ' é o dobro do lado PP', assim como o lado BC é o triplo do lado PP'. Traçando retas saindo de P e P' até o meio da reta VERMELHA formamos 3 triângulos semelhantes (na verdade congruentes) ao triângulo PAP'. Note que as retas AZUIS são iguais a PQ (e também a QB e AP) assim como as retas VERDES são iguais a P'Q' (é também Q'C e AP'). Fizemos o "mesmo" procedimento com a reta ROXA, porém dividindo-a em 3 partes iguais a PP', formando pelos mesmos critérios mais 5 triângulos congruentes a PAP'. Portanto ao todo temos 9 triângulos PAP' que equivalem a 540 cm². Note que o quadrilátero PP'Q'Q possui 3 triângulos PAP', logo tem área igual a 1/3 (=3/9) do triângulo ABC, portanto sua área é de 540/3 = 180 cm². Espero ter ajudado e bons estudos.

Considere AO a altura do triângulo APP', AN a altura do triângulo AQQ', AM a altura do triângulo ABC.
Como BC, QQ' e PP' são paralelas, os triângulos ABC, AQQ' e APP' são semelhantes.
Logo, as alturas e as bases dos três triângulos são proporcionais.

Ou seja, AO = (1/3)AM, AN = (2 /3)AM, QQ' = (2/3)BC e PP' = (1/3)BC. 

Pela fórmula de área do triângulo, temos que:
(BC.AM)/2 = 540 cm² (equação I)

Para o triângulo AQQ':
A' = (QQ'.AN)/2
Sabendo que AN = (2 /3)AM, QQ' = (2/3)BC, substituímos
A' = [(2/3)BC.(2 /3)AM]/2 = (4/9) (BC.AM)/2
Da equação I, temos:
A' = (4/9) . 540 = 240 cm²

Para o triângulo APP':A" = (PP'.AO)/2
Sabendo que AO = (1 /3)AM, PP' = (1/3)BC, substituímos:
A" = [(1/3)BC.(1 /3)AM]/2 = (1/9) (BC.AM)/2Da equação I, temos:
A" = (1/9) . 540 = 60 cm²

Sendo A a área do quadrilátero PP'Q'Q, temos que:
A = A' - A" = 240 - 60 = 180 cm²