Consider that z, w ∈ C , ( z, w ≠ 0) are complex variables such that form the following system of equations:
α,β≠0
Using the properties of conjugate (*) complexes, show that the sum of the variables
Para resolver o sistema de equações:
(1) z* - w* = a (2) w^2 - z^2 = b
Vamos começar tomando o conjugado complexo da equação (1):
(z* - w*)* = a*
Usando as propriedades do conjugado complexo, temos:
z - w = a*
Agora, vamos rearranjar a equação (2):
w^2 - z^2 = b
(w + z)(w - z) = b
Observe que (w + z) e (w - z) são pares conjugados. Tomando o conjugado complexo da equação acima, temos:
((w + z)(w - z))* = b*
(w + z)* (w - z)* = b*
(w* + z*) (w* - z*) = b*
Usando a propriedade (ab)* = a* b*, podemos simplificar a equação:
(w* + z*) (w* - z*) = b*
Como já temos z - w = a*, podemos substituir z* na equação acima:
(w* + (z - a*)) (w* - z*) = b*
Expandindo a equação:
w*^2 - w* a* + z* w* - z* a* = b*
Reordenando os termos:
w*^2 + z* w* - w* a* - z* a* = b*
Usando a equação (1) para substituir z* - w* por a:
w*^2 + z* w* - w* a* - (z - w) a* = b*
w*^2 + z* w* - w* a* - z a* + w a* = b*
Combinando termos semelhantes:
w*^2 + (z* + w*) w* - (z + a) a* = b*
Percebemos que z + w = -a, então podemos substituir na equação:
w*^2 + (z* + w*) w* - (-a + a) a* = b*
w*^2 + (z* + w*) w* = b*
Agora, vamos tomar o conjugado complexo da equação:
(w*^2 + (z* + w*) w*)* = b*
w^2 + (z + w) w = b*
Substituindo z + w = -a:
w^2 - a w = b*
Agora, podemos rearranjar a equação:
w^2 - a w - b = 0
Essa é uma equação quadrática em w. Resolvendo para w usando a fórmula quadrática, temos:
w = (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2
Como z + w = -a, podemos substituir w em termos de z:
z + w = -a z + (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2 = -a
Simplificando a equação:
z = -a - (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2 z = -b / a - (?(a^2 + 4b)) / 2
Portanto, a soma das variáveis z + w é:
z + w = -b / a - (?(a^2 + 4b)) / 2 + (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2 z + w = (-b + a ± ?(a^2 + 4b)) / 2a
Como -b / a* = -b / a, podemos reescrever a soma como:
z + w = -b / a*