Números complexos / álgebra complexa

Professor Vinícius W.

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Para resolver o sistema de equações:

(1) z* - w* = a (2) w^2 - z^2 = b

Vamos começar tomando o conjugado complexo da equação (1):

(z* - w*)* = a*

Usando as propriedades do conjugado complexo, temos:

z - w = a*

Agora, vamos rearranjar a equação (2):

w^2 - z^2 = b

(w + z)(w - z) = b

Observe que (w + z) e (w - z) são pares conjugados. Tomando o conjugado complexo da equação acima, temos:

((w + z)(w - z))* = b*

(w + z)* (w - z)* = b*

(w* + z*) (w* - z*) = b*

Usando a propriedade (ab)* = a* b*, podemos simplificar a equação:

(w* + z*) (w* - z*) = b*

Como já temos z - w = a*, podemos substituir z* na equação acima:

(w* + (z - a*)) (w* - z*) = b*

Expandindo a equação:

w*^2 - w* a* + z* w* - z* a* = b*

Reordenando os termos:

w*^2 + z* w* - w* a* - z* a* = b*

Usando a equação (1) para substituir z* - w* por a:

w*^2 + z* w* - w* a* - (z - w) a* = b*

w*^2 + z* w* - w* a* - z a* + w a* = b*

Combinando termos semelhantes:

w*^2 + (z* + w*) w* - (z + a) a* = b*

Percebemos que z + w = -a, então podemos substituir na equação:

w*^2 + (z* + w*) w* - (-a + a) a* = b*

w*^2 + (z* + w*) w* = b*

Agora, vamos tomar o conjugado complexo da equação:

(w*^2 + (z* + w*) w*)* = b*

w^2 + (z + w) w = b*

Substituindo z + w = -a:

w^2 - a w = b*

Agora, podemos rearranjar a equação:

w^2 - a w - b = 0

Essa é uma equação quadrática em w. Resolvendo para w usando a fórmula quadrática, temos:

w = (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2

Como z + w = -a, podemos substituir w em termos de z:

z + w = -a z + (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2 = -a

Simplificando a equação:

z = -a - (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2 z = -b / a - (?(a^2 + 4b)) / 2

Portanto, a soma das variáveis z + w é:

z + w = -b / a - (?(a^2 + 4b)) / 2 + (a ± ?(a^2 + 4b)) / 2 z + w = (-b + a ± ?(a^2 + 4b)) / 2a

Como -b / a* = -b / a, podemos reescrever a soma como:

z + w = -b / a*