Números complexos e imaginário

Não estou conseguindo resolver esta questão. Poderiam demonstrar a resolução? 


Consideremosos seguintes números complexos:


Z=2( cos 30° + i sem 30°) e


W= cos 120°+ i sem 120°


Calculando z¹². W¹² , devemos obter:


a) i


b) 0


c) 1


d)2¹²


e) 2^24

Hunaldo O.
Hunaldo
perguntou há 3 meses

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Professor Márcio L.
Respondeu há 3 meses
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Bom dia Hunaldo,

Podemos representar os números complexos na forma retangular ou na forma trigonométrica, que é o caso.
Para simplificar usamos para o número complexo x a notação "cis" que fica assim:

x = r(cosa+ i sena) = rcisa, onde r é o módulo e a o ângulo.

Como propriedade temos que multiplicar dois números complexos corresponde a multiplicar os módulos e somar os angulos, ou seja, para os números x = r(cosa+ i sena) = rcisa e y = p(cosb+ i senb) = pcisb:

x.y = r.p.cis(a+b).

Fazendo isso para o dado problema:

z¹². w¹² = 2¹²cis(12*30°) . 1¹²cis(12*120°) = 2¹².cis(12*30° + 12*120°) = 2¹².cis(1800°) = 2¹².cis(0°) = 2¹²

Alternativa correta letra d)

Qualquer dúvida pode me chamar pelo whatsapp (11) 97518-5247
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Professor Vinicius B.
Respondeu há 3 meses

Tendo em vista que z12w12=(z.w)12, temos: z.w=2(cos150o+i sen150o). Pela propriedade da potência de números complexos: yn=|y|n(cos(nφ)+i sen(nφ)), temos: (z*w)12=212(cos(12*150)+i sen(12*150))=212(cos1800+i sen1800). Da trigonometria, vem: cos1800=cos0=1 e sen1800=sen0=0, e obtemos como resultado final: (z*w)12=212

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