Números complexos e polinômios

1) b) Tome i^2 = -1, daí: (1-i)^2 = (1-i)(1-i) = 1-i-i + i^2 = 1-2i-1 = -2i. Logo, (1-i)^100 = ((1-i)^2)^50 = (-2i)^50 = (2)^50.(-i)^50 = (2)^50 . (-1) = - 2^50 2) (a-bi)^2 = 5 +12i (a-bi)(a-bi) = 5+12i a^2 - abi - abi - b^2 = 5+12i (a^2 - b^2) - 2abi = 5 +12i a^2 - b^2 = 5 (I) - 2abi = 12i (II) Por (II), temos: ab = -6 -> a = -6/b Substituindo a em (I): (-6/b)^2 - b^2 = 5 36/b^2 - b^2 = 5 36 -b^4/b^2 = 5b^2/b^2 Multiplicando por(-1), temos: b^4 +5b^2 -36 = 0 Tome b^2 = x, logo: x^2 + 5x -36 = 0 Fazendo delta = 5^2 -4a.c delta = 169 As raízes dessa equação são: x = 4 ou x = -9 como x = b ^2, usando 4 = b^2 , temos que b = +-2, para x = -9 não temos solução real. Logo, os valores de a podem ser: a = -6/2 = - 3 a = -6/-2 = 3

1) a) um número complexo z em sua forma trigonométrica é representado por: |z|*cis(x), onde cis(x) = cos(x) + sen(x)*i Desse modo, vamos calcular o módulo do complexo z = 1 - i: |z| = ?(1)²+(-1)² = ?2 Colocando o afixo de z no plano Argand-Gauss, podemos ver que, sendo o argumento de z = x, temos: cos(x) = 1/?2 e sen(x) = -1/?2 Portanto, argumento principal de z deve ser 315 º = 7pi/4 Logo, z = ?2 * cis(7pi/4). É importante saber que 7pi/4 é apenas o argumento principal desse complexo, portanto ele pode ser escrito com todos os arcos congruentes à 7pi/4: z = ?2 * cis(7pi/4 + 2k*pi) ; com k sendo um número inteiro. b) É fácil calcular qualquer potência de um número complexo quando ele está em sua forma trigonométrica, basta-nos calcular a potência do módulo e multiplicar o argumento da parte trigonométrica pela potência desejada: z^100 = (?2 * cis(7pi/4))^100 = (?2)^100 * cis(100 * 7pi/4) = 2^50 * cis(175pi) = 2^50 * cis(pi) = 2^50 * (-1) = -(2^50) 2) Basta desenvolver o termo ao quadrado e igualar as partes real e imaginária: (a-bi)^2=5+12i a² + (bi)² - 2abi = 5 + 12i a² - b² - 2abi = 5 + 12i Disso, temos que: a² - b² = 5 (I) e -2ab = 12 , então ab = -6 (II) Se elevarmos a segunda equação ao quadrado, teremos: a²b² = 36, multiplicando isso por -1, temos que a²(-b²) = -36. Vamos chamar a² de x' e -b² de x'', sendo assim, teremos de (I) e de (II) o seguinte: x' + x'' = 5 x'*x'' = -36 Note que x' e x'' são raízes da seguinte equação: x² - 5x - 36 = 0 (porque x' + x'' é a soma das raízes e x'*x'' é a multiplicação delas) Resolvendo essa equação do segundo grau com Bhaskara, teremos que: x' = 9 e x'' = -4 Agora podemos substituir x' = a² e x'' = -b² para encontrar os valores de a e b: x' = a², então a = 3 ou a = -3 x'' = -b², então b = 2 ou b = -2 Veja que ab deve ser igual a -6, portanto temos que as soluções são: i) a = 3 e b = -2 ii) a = -3 e b = 2