o conjunto vazio pertence a qualquer conjunto?

Não, o conjunto vazio não pertence a qualquer conjunto. A expressão correta é que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Isso significa que, dado qualquer conjunto $A$, o conjunto vazio $\varnothing$ é um subconjunto de $A$. Em notação de conjunto, isso é representado como $\varnothing \subseteq A$.

Pertencer a um conjunto ($\in$) é diferente de estar contido ou ser um subconjunto de um conjunto ($\subseteq$). Para o conjunto vazio pertencer a um conjunto $A$ (ou seja, $\varnothing \in A$), o conjunto vazio teria que ser um elemento de $A$, o que não é verdade a menos que especificamente $A$ seja definido para incluir o conjunto vazio como um de seus elementos.