O Pequeno Teorema de Fermat é um dos resultados fundamentais

Question

O Pequeno Teorema de Fermat é um dos resultados fundamentais na teoria dos números e tem inúmeras aplicações na criptografia e na aritmética modular.  Essa propriedade é extremamente útil para simplificar cálculos em aritmética modular, especialmente em casos onde os expoentes são grandes. Também serve como base para métodos de criptografia, como o RSA, onde a segurança das comunicações depende de propriedades dos números primos. Analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas   I. O resto da divisão de 4 elevado a 20 por 5 é 1. PORQUE II. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, 4 elevado a 20 é congruente a 1 elevado a 10 (mod 5)  Alternativas Alternativa 1: As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para I.  Alternativa 2: As asserções I e II são verdadeiras e a II é uma justificativa correta para a I.  Alternativa 3: A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa.  Alternativa 4: A asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira.  Alternativa 5: As asserções I e II são falsas.

Profes A. · Accepted Answer

Vamos analisar cada uma das asserções com base no Pequeno Teorema de Fermat, que afirma que se $p$ é um número primo e $a$ é um inteiro que não é divisível por $p$ , então:

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p) .

Neste problema, vamos aplicar o teorema para $a = 4$ e $p = 5$ .

Análise das Asserções:

Asserção I: O resto da divisão de $4^{20}$ por 5 é 1.

Vamos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat:

Para $a = 4$ e $p = 5$ , temos:

4^{5 - 1} = 4^{4} \equiv 1 (\mod 5) .

Se $4^{4} \equiv 1 (\mod 5)$ , então ( (4^4)^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{5} ). Note que $4^{20} = (4^{4})^{5}$ , logo $4^{20} \equiv 1 (\mod 5)$ . Portanto, a asserção I é verdadeira.

Asserção II: Pelo Pequeno Teorema de Fermat, $4^{20}$ é congruente a $1^{10} (\mod 5)$ .

Aqui, a explicação está incorreta. Pelo teorema, não estamos comparando $4^{20}$ a $1^{10}$ , mas sim a congruência ((4^4)^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{5}). Na verdade, estamos usando uma sequência de potências de 4 e utilizando a repetição com base no teorema.

Portanto, a assertiva II tem a ideia correta, mas a explicação fornecida não é uma justificativa adequada para I.

Alternativas:

Alternativa 1: As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para I.

Essa é a alternativa correta porque a justificativa fornecida na II está incorreta, mesmo que o resultado final esteja correto.

Portanto, a alternativa correta é a Alternativa 1.

O Pequeno Teorema de Fermat é um dos resultados fundamentais

Análise das Asserções:

Alternativas:

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