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O Pequeno Teorema de Fermat é um dos resultados fundamentais

O Pequeno Teorema de Fermat é um dos resultados fundamentais na teoria dos números e tem inúmeras aplicações na criptografia e na aritmética modular. Essa propriedade é extremamente útil para simplificar cálculos em aritmética modular, especialmente em casos onde os expoentes são grandes. Também serve como base para métodos de criptografia, como o RSA, onde a segurança das comunicações depende de propriedades dos números primos. Analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas I. O resto da divisão de 4 elevado a 20 por 5 é 1. PORQUE II. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, 4 elevado a 20 é congruente a 1 elevado a 10 (mod 5) Alternativas Alternativa 1: As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para I. Alternativa 2: As asserções I e II são verdadeiras e a II é uma justificativa correta para a I. Alternativa 3: A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa. Alternativa 4: A asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira. Alternativa 5: As asserções I e II são falsas.
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Respondeu há 1 mês

Vamos analisar cada uma das asserções com base no Pequeno Teorema de Fermat, que afirma que se p é um número primo e a é um inteiro que não é divisível por p, então:

ap11(modp).

Neste problema, vamos aplicar o teorema para a=4 e p=5.

Análise das Asserções:

Asserção I: O resto da divisão de 420 por 5 é 1.

Vamos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat:

Para a=4 e p=5, temos:

451=441(mod5).

Se 441(mod5), então ( (4^4)^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{5} ). Note que 420=(44)5, logo 4201(mod5). Portanto, a asserção I é verdadeira.

Asserção II: Pelo Pequeno Teorema de Fermat, 420 é congruente a 110(mod5).

Aqui, a explicação está incorreta. Pelo teorema, não estamos comparando 420 a 110, mas sim a congruência ((4^4)^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{5}). Na verdade, estamos usando uma sequência de potências de 4 e utilizando a repetição com base no teorema.

Portanto, a assertiva II tem a ideia correta, mas a explicação fornecida não é uma justificativa adequada para I.

Alternativas:

  • Alternativa 1: As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para I.

Essa é a alternativa correta porque a justificativa fornecida na II está incorreta, mesmo que o resultado final esteja correto.

Portanto, a alternativa correta é a Alternativa 1.

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