A Lei de Stokes, frequentemente referida em contextos de física e engenharia, descreve o movimento de partículas esféricas em um fluido viscoso. Ela é especialmente relevante em situações onde a resistência do fluido é muito maior do que a força de inércia da partícula, garantindo que a partícula esteja se movendo a uma velocidade constante.
Em termos matemáticos, a força viscosa ( F_v ) que atua sobre uma esfera que se move a uma velocidade ( v ) em um fluido é dada pela expressão:
[ F_v = 6 \pi \eta r v ]
onde: - ( F_v ) é a força viscosa, - ( \eta ) é a viscosidade dinâmica do fluido, - ( r ) é o raio da esfera, - ( v ) é a velocidade da esfera.
A Lei de Stokes é aplicada em várias áreas, como em processos de sedimentação, a dinâmica de partículas em suspensões, e na análise do movimento de pequenos organismos em água, entre outros. A condição requerida para que a Lei de Stokes se aplique é que o número de Reynolds da partícula seja baixo, indicando que o fluxo é laminar e as forças viscosas dominam.
O Teorema de Stokes pode ser visto como uma versão em dimensão maior do Teorema de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira plana, o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral ao redor da curva fronteira S (que é uma curva no espaço). A Figura 1 mostra uma superfície orientada com seu verso normal n. A orientação de S induz a orientação positiva da curva fronteira C mostrada na figura. Isso significa que, se você andar na direção positiva ao redor da curva C com sua cabeça na direção e sentido de n, então a superfície estará sempre à sua esquerda.
Teorema de Stokes: Seja S uma superfície orientada , lisa por trechos, cuja fronteira é formada por uma curva C simples, fechada, lisa por trechos, com orientaçao positiva. Seja F um campo vetorial cujos componentes têm derivadas parciais contínuas na região aberta de que contém S. Então
Como
e
o Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha ao redor da curva fronteira de S do componente tangencial de é igual à integral de superfície do componente normal do rotacional de
.
A curva fronteira orientada positivamennte da superfície da superfícia orientada S é com frequência denotada por , de modo que o Teorema de Stokes possa ser escrito como
1-
Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes , o de Green e o Teoremma Fundamental do Cálculo. Como anteriormente , existe uma integral envolvendo as derivdas do lado esquerdo da Equação 1 (lembre-se de que o rot é uma espécie de derivada de
) e do lado direito, envolvendo valores de
, calculamos na fronteira de S.
...
Para entender a Aplicação Resolva Exercícios dos seguintes Livros:
[1] Eugene Butkov. Física Matemática. Livros Técnicos e Científicos, 1988.
Você verá aplicação do Teorema somente com a resolução dos exercícios dos Cálculos Integrais , Diferencias e Vetorais, principalmente na Análise Vetorial.
att
Aulas particulares
