Obtenha duas transformações lineares diferentes que transfor

Para obter duas transformações lineares que transformem o triângulo com vértices em ((0,0)), ((1,1)) e ((2,0)) no triângulo com vértices em ((0,0)), ((1,1)) e ((0,2)), precisamos definir duas matrizes $2\times 2$ diferentes que atuem como transformações lineares.

Seja a matriz de transformação $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$. A transformação de um ponto ((x, y)) é dada por:

Para verificar como essa transformação funciona, considere os seguintes sistemas de equações, que devem ser satisfeitos para os vértices dados.

1. ( (0,0) ) deve transformar em ( (0,0) ), o que é trivial.

2. ( (1,1) ) deve transformar em ( (1,1) ):
   $$\{\begin{array}{c}a+b=1\hfill \\ c+d=1\hfill \end{array}$$

3. ( (2,0) ) deve transformar em ( (0,2) ):
   $$\{\begin{array}{c}2a=0\hfill \\ 2c=2\hfill \end{array}$$

Da última equação ((2a = 0)), temos $a=0$. Da equação ((2c = 2)), temos $c=1$.

Agora, temos:

• $a=0$
• $c=1$
• $b=1$ (da equação $a+b=1$)
• $d=0$ (da equação $c+d=1$)

Assim, uma matriz de transformação é:

Esta matriz troca as coordenadas $x$ e $y$.

Agora, para uma segunda matriz, devemos usar outros valores. Da condição $b=1$ (de $a+b=1$), escolhemos $a=-1$ (outro valor que satisfaça essa equação, diferente de antes).

Vamos verificar novamente para as condições:

1. $a+b=1\Rightarrow -1+b=1\Rightarrow b=2$
2. $c+d=1\Rightarrow 1+d=1\Rightarrow d=0$

Assim, outra matriz de transformação é:

Este segundo conjunto de valores proporciona uma matriz de transformação alternativa que também mapeia os vértices adequadamente do triângulo original para o novo triângulo.