1)Sejam os complexos z = (2a – b) + 3i e v = –2 + (–a + b)i.Determine a e b de modo que z = v.
2)Determine o conjugado do número complexo z = 3 – 2i.
3)Escreva o conjugado z dos seguintes números complexos.a. z = 12 + 4i
4)Determine o valor de a na igualdade (a + 3) + 4i = 4i
5)Determine o valor de x e y na igualdade (y – 3) + (x + y) i = 2i
6)O número de soluções reais de x² – 9 + (x + 3)i = 0 é:
7)Sendo z = 2 + 5i e w = 3 - 4i, determine z-w
8)Sendo z = 2 + 5i e w = 3 - 4i, determine z+w
9)Sendo z = 2 + 5i e w = 3 - 4i, determine z.w
10)(Vunesp) Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então o conjugado de z será dado por:
11)Sejam os números complexos z1 = 2x – 3i e z2 = 2 + yi, emque x e y são números reais. Se z1 = z2, então o produto x · y é:
Boa tarde Lucas.
1. O objetivo aqui é encontrar a e b tal que (2a - b) +3i = -2 + (-a + b)i. Para isso, olharemos para as partes real e imaginária de cada complexo, de tal forma que R(z) = R(v) e Im(z) = Im(v). Como Re(z) = 2a-b e Re(v) = -2, queremos que 2a-b = -2. Além disso, como Im(z) = 3 e Im(v) = -a +b, queremos que 3 = b-a. Assim, basta resolvermos o sistema
2a - b = -2
-a + b = 3
Podemos somar as duas equações e obtemos a = 1 o que, substituido na segunda equação (poderia ser a primeira, retornaria o mesmo resultado), nos dá b = 4. E assim, obtemos que z = -2 + 3i e v = -2 + 3i.
2. Lembre-se que o conjugado de um número complexo z = a + bi é dado por z* = a - bi. Portanto, se z = 3 - 2i, temos z* = 3 + 2i.
3. (a) Queremos determinar o conjugado de z = 12 + 4i. Da definição do conjugado dada anteriormente, segue que z* = 12 - 4i.
4. Note que a parte real do número complexo 4i é 0, já que 4i é um complexo puro. Sendo assim, queremos que a + 3 = 0, ou seja, a = -3.
5. Primeiro, note que como no exercício (4), o número complexo 2i é puro, ou seja, sua parte real é 0, assim, devemos ter y - 3 = 0, ou seja, y = 3. Assim, como Im((x+3)i) = Im(2i) = 2 (vide o primeiro exercício). Devemos ter, x + 3 = 2, isto é, x = -1.
6. Ora, queremos x real tal que x² - 9 = 0 e também x + 3 = 0 (é o mesmo que estamos fazendo desde o exercício (1), note que igualdade entre números complexos se resume ao fato de suas partes real e imaginária serem iguais). Daí, devemos ter x² = 9, ou seja x = 3 ou x = -3 e ao mesmo tempo x deve satisfazer x + 3 = 0, ou seja x = -3. Portanto, o único valor que satisfaz ambas equações é x = -3.
7. Como z = 2 +5i e w = 3 - 4i, a soma e subtração entre eles se resume a somar ou subtrair a parte real de z da parte real de w e a parte imaginária de z da parte imaginária de w. Sendo assim, segue que z - w = (2 - 3) + (5 - (-4))i = -1 + 9i.
8. Como no exercício anterior, z + w = (2 + 3) + (5 - 4)i = 5 + i.
9. O produto de números comlpexos é dado como se estivessemos multiplicando coisas do tipo (x+y)(z+w), ou seja, temos que aplicar a distributiva. Sendo assim, considerando os mesmos z e w da questão anterior temos
z.w = (2 + 5i)(3 - 4i) = (2 + 5i).3 + (2 + 5i).(-4i) =
= 6 + 15i -8i - 20i².
Mas lembre-se que i, a partícula imaginária, é definida como o valor tal que i² = -1. Logo na expressão anterior obtemos:
z.w = 6 + 7i - 20.(-1) = 6 + 7i + 20
= 26 + 7i.
10. Vamos primeiramente resolver este produto, utilizando a mesma técnica do exercício anterior. Mas antes, para ficar mais claro vamos reescrever z como: z = (2 + i) . [ (1 + i) . i], assim, resolvendo primeiramente o colchete e depois a multiplicação como anteriormente, obtemos z = (2 + i) . (i + i²) = 2.(i - 1) + i(i - 1) = 2i - 2 + i² - i = 2i - 2 -1 -i = -3 + i.
11. Novamente, comparando os números, obtemos 2x = 2, ou seja, x = 1 e -3 = y. Dessa forma, x .y = 1.(-3) = -3.
Espero ter ajudado.
Aulas particulares
