"Os números a, b e c são tais que b é a média aritmética ent

Para que uma equação quadrática $a{x}^2+bx+c=0$ tenha apenas uma raiz, o discriminante $\Delta$ deve ser igual a zero. O discriminante é dado por $\Delta =b^2-4ac$.

Além disso, o enunciado nos diz que $b$ é a média aritmética entre $a$ e $c$, o que significa que $b=\frac{a+c}{2}$.

Vamos utilizar essas informações:

1. Igualar o discriminante a zero:
   $$b^2-4ac=0$$

2. Substituir a expressão de $b$ como média aritmética:
   $${\left(\frac{a+c}{2}\right)}^2-4ac=0$$

3. Resolver a equação:
   $$\frac{(a+c{)}^2}{4}=4ac$$

Essa é uma equação quadrática em termos de $a$ e $c$. Para simplificá-la, podemos tentar encontrar outros padrões ou relações. No entanto, o importante é sabermos que, quando a equação quadrática $a{x}^2+bx+c=0$ tem uma única raiz, essa raiz é dada pela fórmula:
$$x=-\frac{b}{2a}$$

Portanto, substituindo a expressão de $b$:
$$x=-\frac{\frac{a+c}{2}}{2a}=-\frac{a+c}{4a}$$

Esta é a única raiz da equação, dado que o discriminante é zero. Assim, a solução é:
$$x=-\frac{a+c}{4a}$$