Os vértices A e B, pertencentes ao quadrado ABCD são posicio

Para resolver essa questão, precisamos entender a rotação do quadrado em torno da bissetriz do primeiro quadrante e como isso gera o cilindro. Vamos seguir os passos para resolver o problema:

1. Identificar a bissetriz do primeiro quadrante.
   A bissetriz do primeiro quadrante é a reta $y=x$.

2. Localização dos vértices do quadrado.
   Considere que os vértices $A$ e $B$ do quadrado $ABCD$ estão sobre a bissetriz $y=x$, o que significa que $A=(a,a)$ e $B=(b,b)$.

3. Distância e rotação.
   O quadrado tem lados de comprimento igual, então a distância $AB=\sqrt{(b-a{)}^2+(b-a{)}^2}=b-a$.

4. Gerar o cilindro.
   O quadrado é rotacionado em torno da bissetriz $y=x$ para formar um cilindro. O diâmetro do cilindro é a distância entre as linhas suportes $r$ e $s$, que corresponde à diagonal do quadrado $AB$, multiplicada por $\sqrt{2}$ (devido à projeção do quadrado em relação à bissetriz).

5. Volume do cilindro.
   O volume do cilindro é dado por $V=\pi R^{2}H$, onde $R$ é o raio (metade do diâmetro) e $H$ é a altura, que também é igual ao lado do quadrado. Temos que o volume é $8\pi$. Assim:

Simplificando:

[ b-a = \sqrt[3]{16} ]

1. Equações das retas $r$ e $s$.
   As retas $r$ e $s$ para o lado $CD$ quando rotacionadas devem ser equidistantes, com distância igual ao diâmetro do cilindro. Então, as equações das retas serão:

Substituindo:

[ b-a = \sqrt[3]{16}, \text{ então } ]

[ y = x \pm \frac{\sqrt{2}(\sqrt[3]{16})}{2} ]

Comparando com a equação dada:

Obtemos:

, $q=\frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

e $r=2$

.

Precisamos agora obter a soma $p+q$:

[ \text{Portanto, } p + q = 1 + \frac{\sqrt[3]{16}}{2} ]

A raiz cúbica de 16 é aproximadamente 2.52, então:

[ \text{o valor exato é: } 1 + \frac{\sqrt[3]{16}}{2} ]

Assim, a expressão correta para o enunciado é aproximadamente $1+1.26\equiv 1+\frac{4}{\sqrt[3]{4}}\equiv \frac{\frac{4}{\sqrt[3]{4}}}{2}+1$.