Para presentear a coordenadora de um curso por ocasião de se

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das afirmativas e verificar se são corretas.

Análise da situação:

1. Valor do presente: R$ 480,00.

2. Forma de pagamento original:

3. Divisão igual entre todos os professores.

4. Condição adicional:

5. 5 professores podem pagar apenas a metade da cota inicial.
6. Os outros professores pagam R$ 8,00 a mais do que a cota inicial.

Análise das afirmativas:

I. A relação entre x e o valor do presente pode ser expressa pela seguinte equação (2x(8x-40) = 2400).

Para verificar essa afirmativa, precisamos construir a equação correta com base nas condições do problema.

Se $x$ é o número total de professores, então, inicialmente, o valor da cota de cada professor seria $\frac{480}{x}$.

• 5 professores pagam metade da cota original: $\frac{480}{2x}$.
• Os restantes, $x-5$, pagam a cota original mais R$ 8,00: $\frac{480}{x}+8$.

O total pago deve ser igual ao custo do presente:

Resolvendo:

Simplificando:

[\therefore \, 8x^2 - 40x = 2400.]

Assim, a afirmativa está errada.

II. Equação do segundo grau dada por: $A{x}^2+Bx+C=0$, com A < 0. O ponto de máximo é atingido quando $x=\frac{5}{2}$.

Para uma função quadrática $A{x}^2+Bx+C$, o valor de $x$ que maximiza ou minimiza a função é dado por $-\frac{B}{2A}$.

Neste caso, para ser um ponto de máximo, $A$ deve ser negativo (o que gera uma parábola invertida).

Portanto, a afirmativa está correta se atender a esta condição.

III. A cota de cada professor em situação financeira difícil foi R$ 16,00 e a dos demais foi R$ 40,00.

Vamos determinar o número total de professores e ver quanto cada grupo paga.

A forma encontrada acima implica:

• $\frac{480}{2x}=16\to x=15$
• $\frac{480}{15}+8=40$

Portanto, a cota dos professores em dificuldades foi R$ 16,00 e a dos outros foi R$ 40,00.

A afirmativa está correta.

Conclusão

A afirmativa I está errada. As afirmativas II e III estão corretas. Assim, a resposta correta é:

Alternativa 4: II e III, apenas.