Parábolas

Olá Paula.
Para o gráfico peço entrar em contato pelo email marcosfatt @ yahoo. com. br .

- Para a Parábola 1, o vértice é Xv= -b/2a = -4/2= -2 Yv=f(Xv)= (-2)^2+4.(-2)+3 = -1  V(-2,-1). 

A parábola é da forma (X-Xv)^2=4p(Y-Yv) --> (X+2)^2=4p(Y+1) 

4pY = X^2 +4X+4 - 2p   Assim, p=1/4  Então a reta diretriz d: Y= Yv-p = -1-1/4 = -5/4    d:  Y=-5/4 

- Para a Parábola 2, o vértice é Xv= -b/2a = -6/(-2) = 3  Yv=f(Xv)= -(3)^2+6.3 -9 = 0  V(3,0). 

A parábola é da forma -(X-Xv)^2=4p(Y-Yv) --> -(X-3)^2=4pY  

2pY = -X^2 +6X -9  Assim, p=1/4  Então a reta diretriz d: Y= Yv+p = 0+1/4 = 1/4  d:  Y=1/4 

- Para a Parábola 3, o vértice é Xv= -b/2a = 1/4  Yv=f(Xv)= 2(1/4)^2 -1/4 -3 = 1/8 -1/4 -3 = (1-2-24)/8 = -25/8   V(1/4, -25/8). 

A parábola é da forma (X-Xv)^2=4p(Y-Yv) --> [(X-Xv)^2]/4p= (Y-Yv)    [(X-1/4)^2]/4p=Y + 25/8  

Y = X^2/4p +X/4p -1/32p  Assim, 1/4p=2  -->  p= 1/8 Então a reta diretriz d: Y= Yv-p = -25/8-1/8 = -26/8  d:  Y=-13/4

Bons estudos ! 

Olá , Paula!


a) Parábola de Y = X^2 + 4X + 3, onde X^2 significa X elevado ao quadrado
Uma das maneiras de traçarmos a parábola é através de seus pontos notáveis: intersecção com o eixo dos x, intersecção com o eixo dos y e o vértice. Devemos também observar a concavidade, se é voltada para baixo ou para cima.
Achemos os pontos notáveis da parábola
a = 1, b = 4 e c = 3 ; Δ = b^2 – 4.a.c = (b elevado ao quadrado) – 4.a.c = 4
I - Intersecção com o eixo dos x:
Fazendo y = 0, (X elevado a 2)+ 4X + 3 = 0, então x = -3 ou x = -1, temos os pontos (-1, 0 ) e (-3, 0 )
II- Intersecção com o eixo y:
A intersecção da parábola com o eixo y se dá no ponto ( 0, c )
Fazendo x = 0, temos y = (0) elevado ao quadrado + 4. 0 + 3 = 3, y = 3
Neste exemplo, c = 3 então o ponto de intersecção será ( 0, 3 )
III- Vértice da parábola: Xv = - b/ 2.a e Yv = - Δ / 4.a
Xv = -4/ 2.1 = -2 ; Xv = -2
Yv = - 4/ 4.1 = -1 ; Yv = -1
então, V= ( -2, -1 )
IV- A concavidade da parábola:
Como o a da função é igual a 1, a = 1, a > 0 a concavidade está voltada para cima.
Marque os pontos notáveis encontrados, no sistema de eixos coordenados cartesiano e trace a parábola com a concavidade voltada para cima. Depois de calculados inclua o foco e a reta diretriz.

Foco e Diretriz
Para localizarmos o foco e a reta diretriz, devemos considerar:
A parábola é do tipo ( X – Xv )^2 = 4p.( Y – Yv ),
( X – Xv )^2 significa ( X – Xv ) elevado ao quadrado
substituindo-se Xv = -2 e Yv = -1 nesta equação, vem
( X + 2 )^2 = 4p.( Y +1)
4p.Y + 4p = X^2 + 4x +4
4p.( X^2 + 4 x + 3 ) + 4p = X^2 + 4x +4
4pX^2 + 16pX + 12p + 4p = X^2 + 4x + 4
4p=1 --> p = 1/4
Diretriz Y = Yv - p --> Y = -1-1/4 --> Diretriz d : Y = -5/4
Foco F = ( Xv, Yv + p ) = ( -2, 3/4 ) --> Foco F = (- 2, -3/4 ),
(onde Yv = -1 e p = 1/4 --> -1+1/4 = -3/4)


b) Parábola de y = - X^2+ 6x -9, onde X^2 significa X elevado ao quadrado
Achemos os pontos notáveis da parábola
a = -1, b = 6 e c = -9 ; Δ = (b) elevado ao quadrado – 4.a.c = 0
I - Intersecção com o eixo dos x:
Fazendo y = 0 , - (X elevado a 2) + 6X -9 = 0, então x = -3 , temos o ponto ( -3, 0 ) raiz dupla
II- Intersecção com o eixo y:
A intersecção da parábola com o eixo y se dá no ponto ( 0, c )
Fazendo x = 0, temos y = -(0) elevado ao quadrado + 0. 0 -9 = -9 , y = -9
Neste exemplo, c = -9 então o ponto de intersecção será ( 0, -9 )
III- Vértice da parábola: Xv = - b/ 2.a e Yv = - Δ / 4.a
Xv = -6/ 2.1 = -3 ; Xv = -3
Yv = - 0/ 4.1 = 0 ; Yv = 0
então, V= ( -3, 0 )
IV- A concavidade da parábola:
Como o a da função é igual a -1, a =- 1, a < 0 a concavidade está voltada para baixo.
Marque os pontos notáveis encontrados, no sistema de eixos coordenados cartesiano e trace a parábola com a concavidade voltada para baixo. Depois de calculados inclua o foco e a reta diretriz.

Foco e Diretriz
Para localizarmos o foco e a reta diretriz, devemos considerar:
A parábola é do tipo- ( X – Xv )^2 = 4p.( Y – Yv ),
-( X – Xv )^2 significa- ( X – Xv ) elevado ao quadrado
substituindo-se Xv = -3 e Yv = 0 nesta equação, vem
-( X + 3 )^2 = 4p.( Y + 0)
4p.Y = -X^2 -6 X -9
4p.( -X^2 + 6 X -9 ) = -X^2 -6X -9
-4pX^2 + 24pX -36p =- X^2 -6X -9
-4p= -1? p = 1/4
Diretriz Y = Yv + p --> Y = 0 + 1/4 --> Diretriz d : Y = 1/4
Foco F = ( Xv, Yv - p ) = ( -3, -1/4 ) -->Foco  F = (- 3, -1/4 ), (onde Yv = 0 e p = 1/4 --> 0 - 1/4 = -1/4)

c) Parábola de Y = 2 X^2 - X - 3, onde X^2 significa X elevado ao quadrado
Achemos os pontos notáveis da parábola
a = 2, b = -1 e c = -3 ; Δ = b^2 – 4.a.c = (b elevado ao quadrado) – 4.a.c = 25
I - Intersecção com o eixo dos x:
Fazendo y = 0, 2.(X elevado a 2) -X - 3 = 0, então X = -1 ou X = 3/2,
temos os pontos (-1, 0 ) e (3/2, 0 )
II- Intersecção com o eixo y:
A intersecção da parábola com o eixo y se dá no ponto ( 0, c )
Fazendo x = 0, temos y = 2.(0 elevado ao quadrado) - 0 - 3 = - 3, y = - 3
Neste exemplo, c = -3 então o ponto de intersecção será ( 0, -3 )
III- Vértice da parábola: Xv = - b/ 2.a e Yv = - Δ / 4.a
Xv = -(-1)/ 2.2 = -2 ; Xv = 1/4
Yv = - 25/ 4.8 = -25/8 ; Yv = -25/8
então, V= ( 1/4, -25/8 )
IV- A concavidade da parábola:
Como o a da função é igual a 2, a = 2, a > 0 a concavidade está voltada para cima.
Marque os pontos notáveis encontrados no sistema de eixos coordenados cartesiano e trace a parábola com a concavidade voltada para cima. Depois de calculados inclua o foco e a reta diretriz.

Foco e Diretriz
Para localizarmos o foco e a reta diretriz, devemos considerar:
A parábola é do tipo ( X – Xv )^2 = 4p.( Y – Yv ),
( X – Xv )^2 significa ( X – Xv ) elevado ao quadrado
substituindo-se Xv = 1/4 e Yv = -25/8 nesta equação, vem
( X – 1/4 )^2 = 4p.( Y + 25/8)
4p.Y + 25p/2 = X^2 –X/2 + 1/16
4p.(2X^2 - X - 3 ) + 25p/2 = X^2 –X/2 +1/16
8pX^2 – 4pX -12p + 25p/2 = X^2 – X/2 + 1/16
8p=1 --> p = 1/8
Diretriz Y = Yv - p --> Y = -25/8 -1/8 = -26/8 = -13/4 --> Diretriz d: Y = - 13/4
Foco F = ( Xv, Yv + p ) = ( 1/4, -3 ) --> Foco F = (1/4, -3 ), (onde Yv = -25/8 e p = 1/8 , - 25/8+1/8 = -24/8 = -3)