Pergunta em relação a Maximo e mínimo (calculo 2). "Determine P na elipse x^2+2y^2=6 e Q na reta x+y=4 de modo que a distância de P a Q seja a menor possível.

Bom dia Luiz José.

Vamos responder esta pergunta complicada que está a dias aqui no PROFES.

Finalmente tive tempo para pensar nesta resolução!

Sei que o exercício é de Cálculo, mas primeiramente farei por GEOMETRIA que é bem mais fácil, depois apresenta a resolução por conceitos de Cálculo.

Vamos lá, o primeiro detalhe seria fazer o gráfico que representa a situação para compreendermos melhor o problema. O gráfico apresentado já está com a resolução do problema, mas comentarei toda a construção e os porquês.

Vide a imagem da situação-problema, clique em

http://s15.postimg.org/lyixk9ciz/minimo.jpg

A curva verde é a referida ELIPSE;

A reta vermelha é referente a função x + y = 4 => y = 4 - x;

A reta azul é perpendicular a reta vermelha e é da forma y = x - 0,899.

Vamos a construção/resolução:

Primeiro fiz ambas as curvas (Elipse e reta vermelha).

Sobre a ELIPSE

A equação canônica da Elipse é dada por

x²/a² + y²/b² = 1

Como a elipse apresenta não está da forma canônica, vamos deixá-la, apenas para descobrir os valores de a² e b².

x² + 2y² = 6 (dividindo ambos os lados por 6, temos)

x²/6 + y²/3 = 1

Logo a² = 6 e b² = 3

Portanto x varia de -raiz(6) até raiz(6) e y varia de -raiz(3) até raiz(3).

Sobre a RETA

x + y = 4 => y = 4 - x

Portanto, se x = 0 => y = 4 => A = (0, 4)
se x = 4 => y = 0 => B = (4, 0)

Traçamos a reta considerando limitada aos pontos A e B.

O PROBLEMA:

O exercício pede os pontos P e Q que minimizem a distância, ou seja, nada mais do que a projeção de um ponto P pertencente a y = 4 - x na elipse dada, onde P é o ponto mais próximo da curva. Em palavras mais claras, teremos que distância será menor quando tivermos uma reta perpendicular à ambas as curvas (reta e elipse) dado que o ponto P é o mais próximo da elipse.

Nossa reta azul, portanto vamos construí-la.

Temos que as retas r e s são perperdiculares, então

mr.ms = -1, onde m é o coeficiente angular de cada reta.

Pela equação de f(x) temos que m = -1

(O coeficiente angular de uma reta é o número que acompanha o x)

Logo

m.ms = -1 => -1.ms = -1 => ms = 1.

Isso significa que a reta azul e da forma

y = x - c, c > 0 (Guarde esta informação!)

CATALOGANDO OS PONTOS (INICIALMENTE)

A = (0, 4)

B = (4, 0)

C = (c, 0)

D = (raiz(6), 0)

E = (0, -c)

P = (xp, yp)

Q = (xq, yq)

Primeiro traçamos um segmento de reta, perpendicular ao eixo X, passando por D até a reta vermelha e marque o ponto.

Observação importante:

Este ponto ainda não é P, precisamos de mais argumentos para concluir que este ponto é o mais próximo da Elipse. Portanto, o ponto marcado como P, por enquanto é 'sem nome'.

Note que

BD = 4 - raiz(6) (aproximadamente)= 1,5505.

Agora vamos construir

DC = raiz(6) - 1,5505 (aproximadamente)= 0,899

Logo C = (0.899, 0) e E = (0, -0.899).

Agora vamos avaliar o que fizemos:

Temos que BD = CD e "P"D (ainda não é P) é um lado comum nos TRIÂNGULOS RETÂNGULOS PBD e PCD, logo PB = PC.

Correto?

Temos que PB tem coeficiente angular igual a -1, pois pertence a reta y = 4 - x.

O detalhe é que coeficiente angular igual a 1 (ou -1), implica que o ângulo com o eixo X é de 45º, pois SENO = COSSENO.

Desta maneira, PC tem coeficiente angular igual a 1 e também tem ângulo de 45º com o eixo X.

Logo o ângulo CPB mede 90º (180º - 45° + 45°)

Desta maneira, as retas y = 4 - x e y = x - 0,899 (x - c: Informação que guardamos!) são perpendiculares.

Isto significa que o ponto P (agora sim) é o ponto mais próximo da Elipse.

Resultados obtidos:

Temos a caracterização da reta perpendicular que determina a distância, portanto podemos obter P e Q facilmente.

A RETA AZUL é dada por

y = x - 0.899

DETERMINANDO P

O ponto P é o ponto de interseção das duas retas, logo

(1) y = 4 - x

(2) y = x - 0,899

Somando (1) e (2), temos

2y = 3,101

y = 3,101/2

y = 1,5505

Por (1), temos que

x = 4 - y (Trocando ambos os termos de lado)

x = 4 - 1,5505 => x = 2,4495

Portanto P = (2.4495, 1.5505)

DETERMINANDO Q

O ponto Q é o ponto de interseção entre a elipse e a reta azul, logo

Por (2) x = y + 0,899 (3)

A equação da elipse é

(4) x² + 2y² = 6

Substituindo (3) em (4) temos

(y + 0,899)² + 2y² = 6 (Abrindo o quadrado, temos)

y² + 1,798y + 0,8082 + 2y² = 6

3y² +1,798y - 6 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, pela fórmula de Bhaskara, temos

y = 1,05 (Note que precisamos encontrar só o valor para a raiz positiva, pois y < 0 para a raiz negativa, e, por construção, temos que y > 0)

Voltando em (3)

x = 1,05 + 0,899

x = 1,949

Portanto Q = (1.949, 1.05)

Note que o computador arredondou todos os valores para DUAS casa decimais, até tinha opção de aumentar a precisão, mas não achei necessário, dado que o mais usual são DUAS casas.

O exercício não pergunta, mas a menor distância é de 0,71 u.m..

Beleza, professor. Você resolveu usando GEOMETRIA e o exercício é de Cálculo. Gostaria de saber como que eu faço usando Cálculo e minimização?

Para resolver usando os conceitos de Cálculo é o seguinte:

O princípio é igual até a seguinte conclusão:

Temos que minimizar a distância entre dois pontos P e Q, onde P é a interseção de duas retas perpendiculares e Q entre uma reta e a elipse.

Note que temos que inverter o raciocínio no seguinte sentido.

Os pontos P e Q pertencem a reta y = x - c e um deles, eventualmente está na elipse e outro na reta.

Temos, ainda de GEOMETRIA, que a distância entre dois pontos P e Q é dada por

d² = (xp - xq)² + (yp - yq)²

d = raiz( (xp - xq)² + (yp - yq)²)

No entanto, minimizar d é igual a minimizar d², pois a derivada tanto de d² quanto de d em relação a y é igual a ZERO, como d² é uma expressão mais fácil de derivar é melhor usá-la.

Achando os valores de (xp, yp) em função de c, desconhecido

Como yp é a o valor de y para a interseção das retas, temos

yp = 4 - y = y + c => yp = 2 - c/2

Consequentemente

xp = 2 + c/2

Logo P = (2 + c/2, 2 - c/2) => (Guardar esta informação)

Note que não sabemos o bendito c. Para achar a forma mais fácil é a construção geométrica que fiz.

Depois de encontrar c, conseguimos achar os valores de xp e yp.

Temos que fazer o seguinte:

Como xq é o valor de x para interseção entre a reta e a elipse então

xq² + 2yq² = 6

xq² = 6 - 2yq²

x= raiz(6 - 2yq²)

e

yq = yq

Por fim, minimizar a distância da seguinte expressão

d²= (2+ c/2 - raiz(6 - 2yq²))² + (2 - c/2 - yq)²

Note que conhecemos o valor de c agora, então a expressão só tem uma incógnita, yq.

d² = (2,4495 - raiz(6 - 2yq²))² + (1,5505 - yq)²

Precisamos derivar a expressão e igualar a zero.

Note que temos uma raiz e para derivá-la usa-se a Regra da Cadeia.

As constantes sumirão e terminar o exercício não será tão complicado.

Se você realmente precisar da resolução por Cálculo e não conseguir terminar o desenvolvimento, me avise que eu termino o exercício.

Sinceramente acho desnecessário resolver questões desta usando Cálculo.

Tem tantos exercícios de maximizar e minimizar função que são realmente plausíveis e "geniais", agora este acho que perde toda beleza, já que Geometricamente, na minha opinião, a resolução é mais bonita.

Espero ter ajudado e bons estudos.