Pfv me ajudem tenho duvida

Olá Maria,

A área do triângulo é o produto de sua base pela a sua altura, dividido por 2. Pela descrição e figura, o triângulo ABC é isósceles e o ângulo do vértice B é 150º (90º do quadrado + 60º do triângulo equilátero). Assim, a base b desse triângulo é

em que o o cosseno de 150º equivale a

Usando desse resultado em I,

Sendo o triângulo isósceles, os ângulos dos vértices C e A são iguais e valem 15º. Assim, traçando a altura h do triângulo a partir do vértice B, tem-se que

em que o seno de 15º é

Usando desse resultado na expressão para a altura,

Portanto, usando dessa última expressão e de II,

Portanto, a alternativa correta é a C.

Inicialmente, utilizamos a lei dos cossenos, para calcular o valor da base do triângulo ABC, que é o segmento AC. Temos:

AC^2 = a^2 + a^2 - 2*a*a*cos(150°)

Onde 150° é o ângulo entre os lados BA e BC, dado pela soma do ângulo interno do triângulo e do quadrado: 60° + 90° = 150°. Observe o desenho ...

Então

AC^2 = 2*a^2 + 2*a^2*(raíz(2)/2) 

=> AC^2 = a^2 *(2 + raíz(2))

=> AC = a*raíz[2 + raíz(2)]

Traçando a altura relativa ao vértice B e sabendo que a mesma divide a base ao meio, devido a simetria, determinamos h pelo teorema de Pitágoras:

h^2 = a^2 - (AC/2)^2 = a^2 - a^2*(2 + raíz(2))/4

=> h^2 = a^2 - a^2/2 - a^2*raíz(2)/4 = a^2*(1/2) - a^2*(raíz(2)/4)

=> h^2 = (a^2/4)*(2 - raíz(2))

=> h = (a/2)*raíz[2 - raíz(2)]

Portanto, a área de ABC será:

A = b*h/2 = a*raíz[2 + raíz(2)]*(a/2)*raíz[2 - raíz(2)]/2 

=> A = a^2*raíz[2^2 - raíz(2)^2]/4 = a^2*raíz(4 - 2)/4 

=> A = a^2*raíz(2)/4 

Alternativa correta: (D)