Poliedro

Primeiramente, é fácil ver que o número de faces é 64, 40 triangulares e 24 pentagonais. Logo, F=64

Para descobrir o número de arestas, você tem que notar que cada aresta pertence a dois lados simultaneamente num poliedro convexo. Se cada face triangular tem 3 arestas e cada pentágono possui 5 arestas, o total de arestas é de: 40*3 + 24*5 = 120 + 120 = 240 arestas. Porém, como cada aresta pertence a dois lados, então dividi-se o resultado por 2, levando ao resultado de 120 arestas ao todo, ou seja, A=120

Por fim, para descobrir o número de vértices, usa-se a relação de Euller, que é V+F=A+2.

Logo, existem 58 vértices no poliedro em questão.

Todo poliedro convexo é em particular um poliedro euleriano, isto é, um poliedro que verifica a relação de Euler que diz que: 

V + F = A + 2  em que: 

V --> Número de vértices.

F--> Número de faces

A --> Número de arestas

Se o poliedro tem 40 faces triangulares e 24 faces poligonais eles tem 64 faces ao todo. Além disso, em um poliedro convexo cara aresta faz parte de apenas de duas faces, ou seja, cada face triangular tem 3 aresta ( 40 * 3 = 120 ) e cada faz pentagonal tem 5 arestas ( 24 * 5 =120 ) como cada aresta pertence a duas faces precisamos dividir o total de aresta por dois, pois cada aresta foi contado 2 vezes. Logo (120 + 120) /2 = 120. 

Portanto, nosso poliedro tem 64 faces e 120 arestas, agora, é só usar a relação de Euler e concluímos que  V + 64 = 120 + 2 --> V = 122 - 64 --> V = 58

V + F = A + 2

V + ( 40 + 24) = (40*3/2) + (24*5/2) + 2

V + 64 = 60 + 60 + 2
V = 58

Esse problema pode ser resolvido aplicando a Relação de Euler, esta que é uma igualdade que relaciona o número de vértices, arestas e faces em Npoliedros convexos, sendo representado pela seguinte fórmula:

Onde:

F é o número de Faces;

V é o número de Vértices e

A é o número de Arestas.

Infelizmente, o enunciado nos fornece somente o número de Faces, mas conseguiremos descobrir o número de Arestas da seguinte forma:

Nesse caso em especifico, precisamos descobrir o número de arestas descobrir e poderemos fazer isso da seguinte forma:

Nós temos 40 faces triangulares e 24 faces pentagonais.

Sendo que cada face triangular possui 3 arestas, enquanto cada face pentagonal possui 5 arestas. Assim, o número total de vértices pode ser calculado como:

Onde:

AT e´igual ao número de arestas da Face triangular e AP é o número de arestas da Face Pentagonal.

Sendo assim,  esse é o nosso resultado:

Isso está correto? Não, ainda temos que dividir o nosso valor por dois pelo seguinte motivo: Quando duas faces se juntam elas formam somente uma única aresta, portando, o número correto de Arestas é igual a 120. O.k.?

 Feito isso, podemos partir para a resolução do problema. Vamos fazer direto:

Portando, o número de Vertices deste Poliedro é igual a 58.

A fórmula de Euler para poliedros envolve o número de arestas (A), vértices (V) e faces (F): ("Vamos Fazer Amor a Dois" era uma frase para decorar na escola sksk). Se o poliedro confere essa igualdade, então esse poliedro existe (apesar de que existe mais uma outra condição para essa existência).

Assim, verificamos as condições: temos 40 triângulos e 24 pentágonos, então, no total:

- 40+24=64 faces totais

- Note que, ao juntar dois triângulos por exemplo, duas arestas se juntam e passam a ser uma só. Assim, juntando 40 triângulos e 24 pentágonos, contamos todas as arestas e divimos por 2, pois estamos unido um par de arestas que viram uma única: 40x3 do triangulo e 24x5 do pentágono, logo, o total de arestas são:.

Conseguindo esses valores, podemos descobrir o número de aresta pela fórmula de euler: . Portanto, esse poliedro possui 58 vértices. 

Dado a relação entre o número de arestas e faces, temos:

2A = 3F3 + 4F4 +5F5 + ...

A -> aresta

F -> face

40 faces triangulares(F3) e 24 faces pentagonais(F5), logo:

2A = 3.40 + 24.5 -> 2A = 240 -> A=120.

Da relação de Euler, temos:

V + F = A + 2 -> V + (24+40) = 120 + 2 -> V = 122 - 64 = 58.

 Sabendo da fórmula : V + F = A + 2

Temos:

V + ( 40 + 24) = (40*3/2) + (24*5/2) + 2

V + 64 = 60 + 60 + 2
V = 58