Polinômio resto a divisão

Olá, para resolver esse problema precisamos da seguinte proposição: 

"O resto da divisão de um polinômio p(x) por um polinômio x-a é r=p(a)"

De fato dividindo p(x) por x-a temos :

p(x)=(x-a)q(x)+r onde r é o resto.

Logo, p(a)=(a-a)q(a)+r e portanto p(a)=r.

Aplicando o resultado acima ao nosso problema temos:

e

Agora dividindo o polinômio p(x) por , temos 

, onde r(x) = ax +b (polinômio de grau menor do que 2). Observe ainda que , logo

implica

r(-1)=p(-1)=1

r(2)=p(2)=4

Assim, . Portanto

implica

Portanto, o resto é o polinômio r(x)=x+2.

A fórmula para calcular divisão polinomial é a seguinte:

P(x) = D(x) Q(x) + R(x)

onde:

• P(x): é o polinômio a ser dividido;
• D(x): é o polinômio divisor;
• Q(x): é o quociente; e
• R(x): é o resto.

Assim,

• =
• 
• 

Além disso:

• o Teorema do Resto nos diz: "O resto da divisão de um polinômio f por x - a é igual ao valor numérico de f em a."
  • Logo:
    •   [1]
    •   [2]
• Como tem grau 2, o resto ou é constante ou possui grau 1. Além disso,  pode ser escrita como (x+1)(x-2)
  • Logo:
    • 
    • [3]

Aplicando 1 em 3:

[4]

Aplicando 2 em 3:

[5]

Resolvendo o sistema formado pelas equações 4 e 5

Temos a= 1 e b=2, de forma que