Pontos de descontinuidadess

Question

Para a função fR->R a seguir, encontre os pontos de descontinuidade e verifique se são de primeira ordem ou segunda ordem. Se existirem pontos de descontinuidade de primeira ordem, determine se tais pontos são descontinuidade removíveis ou não-removíveis:

a) f(x)= l2x-3l/2x-3

Andreza A. · Accepted Answer

A primeira coisa a ser observada é a função modular. Note que 2x -3 = 0 -> 2x = 3 -> x= 3/2. Daí, sabemos que: Se x >= 3/2, então |2x -3| = 2x -3 (pois nesse caso, os valores sempre serão positivos). Se x < 3/2, então |2x -3| = - (2x -3). Agora sim olhamos para a nossa função f Se x >= 3/2, então f(x) = |2x -3|/ 2x - 3 = 2x -3/2x-3 e, portanto, nesse caso f(x)=1 Se x < 3/2, então f(x) = |2x -3|/ 2x - 3 = - (2x -3)/2x-3 e, portanto, nesse caso f(x)= -1 Perceba então que a função será continua igual a 1 (no caso de x> 3/2) e contínua igual a -1 (no caso de x < 3/2) Além disso, o ponto de descontinuidade será em x = 3/2, pois se tomarmos os limites laterais, o limite pela direita (Lim +) será igual a 1 e o limite pela esquerda (Lim -) será igual a -1. Logo, como os limites laterais são diferentes, não existe limite, e a função nesse ponto é descontínua. E essa descontinuidade não é removível. Uma forma de facilitar a visualização desse problema é plotando o gráfico: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7C2x-3%7C%2F%282x-3%29%2C%7Bx%2C-20%2C20%7D%5D

Roy G. · Answer

Veja que voce nao pode dividir por zero logo no ponto x=3/2 a função é descontinua (voce nao precisa nem calcular limites laterais pois simplesmente ela nao esta definida no ponto x=3/2 e para ser continua em um ponto ela precisa emtre outras coisas estar definida nesse ponto).

Agora entao vamos ver que acontece alem desse ponto aonde a funcao nao esta definida entao se x>3/2 entao 2x-3 >0 logo f(x)=(2x-3)/(2x-3) =1

o que é uma constante logo f é continua para x>3/2. Se x<3/2 entao f(x)=-(2x-3)/(2x-3)=-1 que também é constante logo f também é continua se x<3/2 assim

Assim f é contina para todo x diferente de 3/2, agora para saber que tipo de descontinuidade voce tem para x=3/2 voce pode calcular os limites laterais os quais evidentemente sao -1 pela esquerda e 1 pela direita, no caso sao diferentes e portanto a descontinuidade não é removivel ja que nao existe o limite no ponto e portanto nao tem chance da funcao ser redefinida para ser continua naquele ponto

Pontos de descontinuidadess

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