Olá, Paloma.
Vamos usar a seguinte figura como referência (desculpe pela qualidade, posso fazer uma mais elaborada se não estiver claro a partir dessa):
http://postimg.org/image/5fsedlbaj/
r, l1, l2 denotam o comprimemento do raio, e dos dois arcos, recpectivamente.
C denota o centro da circunferência.
A estratégia é descobrir a medida do ângulo β para depois descobrirmos o ângulo de interesse, α.
Farei todas as contas em radianos e transformarei em graus apenas no final, tudo bem?
Podemos calcular o l1 e l2 em termos de β pelas seguintes expressões:
l1 = β . r
l2 = (2π - β) . r
Mas como é dado que l1 / l2 = 3/7, obtemos uma equação para β:
β/(2π - β) = 3/7. Resolvendo essa equação, obtemos:
β = 3π/5
Olhando agora para o triângulo CPR.
É fácil ver que o ângulo CRP é reto, pois o segmento PR está contido numa tangente. Além disso, por simetria, o segmento CP é bissetriz dos dois ângulos, α e β.
Assim, sabendo que os ângulos internos de um triângulo devem resultar em π quando somados, podemos escrever:
α/2 + β/2 + π/2 = π
Como conhecemos o valor de β, isso é uma equação para α, que, se resolvida, nos dá o valor α = 2π/5
Convertendo isso em graus (usando, por exemplo, π radianos = 180º), obtemos exatamente α = 72º.
Se não tiver ficado claro, façe comigo que eu tento explicar melhor.
Espero ter ajudado.
Abraço!
