Preciso de ajuda em 3 questões de cálculo 2 urgentemente.

Olá, isso seria na área de Tarefas. Abs.

1 .

S = Rectangle[{0, 0}, {1, 2}];
z = x + y^2;
n = {0, y, 1};

integral = Integrate[y, {x, 0, 1}, {y, 0, 2}, Assumptions -> z > 0];
Print[integral]

Usando o Mathematica a resposta é 2

2. O fluxo, dupla integral de Fn dS, de F(x,y,z)=xi+yj+zk através de S, onde S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=9 e n é um vetor normal unitário de S, é dado por:

?? Fn dS = ?? (xi+yj+zk) ? n dS = ?? (xi+yj+zk) ? (-zi+xj+yk) dS = ?? -x^2 dx dy = -(x^3) |_0^3 ? = -27 ?

3. A integral dupla de F.n dS, onde F(x,y,z)=(x³+senz)i + (x²ycosz)j + (e^x²+y²)k e S é a superfície de Q, é dada por:

?? F.n dS = ?? (x³+senz)i + (x²ycosz)j + (e^x²+y²)k ? (-zi+xj+yk) dS = ?? (-x^3+senz) dx dy = (x^4-senx) |_0^2 ? = 4? - 2? = 2?

Manda sua demanda na aeea de tarefas que respondemos de forma minuciosa e explicada e valoriza o trabalho dos profissionais.

Para calcular a integral dupla ?S y dS, onde S é a superfície z = x + y^2, 0 ? x ? 1 e 0 ? y ? 2, primeiro precisamos encontrar uma parametrização para a superfície S.

Podemos parametrizar a superfície S da seguinte maneira:
r(x, y) = (x, y, x + y^2), onde 0 ? x ? 1 e 0 ? y ? 2.

Agora, vamos calcular o vetor normal da superfície S. Para isso, precisamos encontrar os vetores tangentes parciais:

r_x(x, y) = (1, 0, 1)
r_y(x, y) = (0, 1, 2y)

O vetor normal da superfície S é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes parciais:

n(x, y) = r_x(x, y) × r_y(x, y)
         = det(i, j, k;
               1, 0, 1;
               0, 1, 2y)
         = (2y, -1, 1)

Agora, vamos calcular o elemento de área dS. Como a superfície S é dada por z = x + y^2, podemos escrever:

dS = ||n(x, y)|| dA
   = ?(4y^2 + 1) dA

Agora, podemos expressar a integral dupla ?S y dS em termos das variáveis x e y:

?S y dS = ??R y ?(4y^2 + 1) dA,

onde R é a região no plano xy que corresponde aos valores permitidos para x e y (0 ? x ? 1 e 0 ? y ? 2).

Agora, podemos calcular a integral dupla:

?S y dS = ?[0,1] ?[0,2] y ?(4y^2 + 1) dy dx

Essa integral precisa ser resolvida numericamente usando métodos numéricos ou software de cálculo simbólico, pois não possui uma solução analítica simples.