Utilizando os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
a) Quantos números ímpares com 3 algarismos distintos eu posso formar?
b) Quantos números pares com 3 algarismos distintos eu posso formar?
Temos um total de 10 algarismos para serem utilizados.
a) Um número ímpar termina com algarismo ímpar, logo para o último algarismo temos 5 opções {1,3,5,7,9}. Para o primeiro são 9 opções porque uma já utilizamos no último e no segundo temos 8 opções. Logo
9x8x5=9x40=360
b) Para números pares temos um complicador: o zero! Porque o zero não pode ser usado no primeiro algarismo e isso depende se ele vai ser utilizado, ou não, no último algarismo. Se no último algarismo utilizarmos o zero, teremos
9x8x1=72 números
1 opção no último porque é exatamente o zero.
Agora se no último utilizarmos {2,4,6,8}, logo 4 opções. Para o primeiro algarismo temos 8 opções (todos menos o que utilizei no último e também retirando o zero que não pode entrar no primeiro) e no segundo algarismo 8 opções de novo porque seria menos um algarismo, mas o zero voltará a ser utilizado. Logo
8x8x4=64x4=256
Pode ser utilizado o zero no último, ou os demais, logo vamos somar ambas as possibilidades
72+256=328
Precisamos separar porque a lógica terminando com o zero fica diferente terminando com os demais algarismos pares, diferente da letra anterior que a lógica não muda independente do algarismo final.
a) Vi que os colegas aqui cometeram um pequeno erro nesse item, desconsiderando que o prímeiro algarismo não pode ser zero.
- Como o número será ímpar, para o algarismo final, podemos usar 1,3,5,7,9 (5 opções de escolha).
- O primeiro algarismo NÃO PODE SER ZERO (pois não resultaria em um número de três dígitos). Também não pode ser igual ao último, então sobram 8 opções.
- O algarismo do meio pode ser qualquer valor, mas diferente dos outros dois, então sobram 8 opções.
Assim, o total de números ímpares com 3 algarismos distintos será: 8 . 8 . 5 = 320
Resposta correta: 320
b) Aqui item b, o prof. Edson já explicou muito bem o raciocínio correto, dê uma olhada na resposta dele.
Resposta correta: 328
Vamos abordar cada parte separadamente:
a) Para formar números ímpares com 3 algarismos distintos usando os algarismos de 0 a 9, precisamos seguir as seguintes regras:
1. O algarismo das unidades não pode ser 0, pois isso faria o número ser par.
2. Os algarismos das centenas e das dezenas devem ser ímpares.
Portanto, temos 5 opções de algarismos ímpares para as centenas e dezenas (1, 3, 5, 7, 9) e 5 opções para as unidades (1, 3, 5, 7, 9).
Total de números ímpares de 3 algarismos distintos: 5 (centenas) × 5 (dezenas) × 5 (unidades) = 125 números ímpares.
b) Para formar números pares com 3 algarismos distintos usando os algarismos de 0 a 9, precisamos seguir as seguintes regras:
1. O algarismo das unidades deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
2. Os algarismos das centenas e das dezenas devem ser pares diferentes do algarismo das unidades.
Temos 5 opções de algarismos pares para as centenas e dezenas (0, 2, 4, 6, 8) e 4 opções para as unidades (2, 4, 6, 8).
Total de números pares de 3 algarismos distintos: 5 (centenas) × 5 (dezenas) × 4 (unidades) = 100 números pares.
Portanto, a resposta para cada parte da pergunta é:
a) Quantidade de números ímpares com 3 algarismos distintos: 125 números ímpares.
b) Quantidade de números pares com 3 algarismos distintos: 100 números pares.
Vamos abordar cada parte separadamente:
a) Para formar números ímpares com 3 algarismos distintos usando os algarismos de 0 a 9, precisamos seguir as seguintes regras:
1. O algarismo das unidades não pode ser 0, pois isso faria o número ser par.
2. Os algarismos das centenas e das dezenas devem ser ímpares.
Portanto, temos 5 opções de algarismos ímpares para as centenas e dezenas (1, 3, 5, 7, 9) e 5 opções para as unidades (1, 3, 5, 7, 9).
Total de números ímpares de 3 algarismos distintos: 5 (centenas) × 5 (dezenas) × 5 (unidades) = 125 números ímpares.
b) Para formar números pares com 3 algarismos distintos usando os algarismos de 0 a 9, precisamos seguir as seguintes regras:
1. O algarismo das unidades deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
2. Os algarismos das centenas e das dezenas devem ser pares diferentes do algarismo das unidades.
Temos 5 opções de algarismos pares para as centenas e dezenas (0, 2, 4, 6, 8) e 4 opções para as unidades (2, 4, 6, 8).
Total de números pares de 3 algarismos distintos: 5 (centenas) × 5 (dezenas) × 4 (unidades) = 100 números pares.
Portanto, a resposta para cada parte da pergunta é:
a) Quantidade de números ímpares com 3 algarismos distintos: 125 números ímpares.
b) Quantidade de números pares com 3 algarismos distintos: 100 números pares.
Olá Estefany!
Na letra a) queremos formar números ímpares de três algarismos distintos. Lembrando que, para que um número seja ímpar ele deve terminar em um número ímpar, e quem são os números ímpares? São aqueles que não são divíveis por 2, ou seja, o 1, 3, 5, 7 e 9. Assim, já sabemos que um desses números (1,3,5,7 ou 9) deve estar na casa final do número de três algarismos, para que assim o número formado seja ímpar.
No total temos 10 números, certo? (0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9). Como na casa final do meu número de três algarismos vai entrar um, sendo este um desses (1,3,5,7 ou 9), então para primeira casa do meu número vão restar 9 números que podem ser escolhidos, uma vez que os números devem ser distintos (não podemos repeti-los). Porém, devemos observar que se o "0" entrar na primeira casa não teremos um número formado por três algarismos, como por exemplo: 045, esse número é 45, pois o "0" na frente o torna um número de apenas dois algarismos. Então, o "0" não pode entrar na primeira casa, desse modo temos como opções para entrar na primeira apenas 8 números, já que não pode entrar o "0" e um número ímpar já foi escolhido para última casa.
Para segunda casa observe que, já foi escolhido um número ímpar para terceira casa e um número qualquer para primeira casa, logo restam 7 números para segunda casa mais o número "0", que não foi incluído como opção de escolha para primeira casa, então restam 8 opções de escolha de número para segunda casa. Assim, a quantidade de opções que temos para formar um número ímpar formado por três algarismos distintos, é:
8x8x5 = 320 números ímpares.
b) O mesmo vale para letra b. Na casa final do número de três algarismos deve entrar um número par (0,2,4,6,8). Entretanto, temos um problema como no caso da letra a), não pode entrar o "0" na primeira casa. Assim, vamos dividir esse problema em três partes.
Primeira parte: vamos considerar que o "0" entra na última casa, assim podem entrar na primeira casa 9 números e na segunda casa 8 números, já que o "0" já está fixo na última. Então, temos: 9x8x1(1 possibilidade, pois o "0" fixo na casa final) = 72 possibilidades de formar um número par com o "0" fixo na última casa.
Segunda parte: Como já considerei os casos onde o "0" está fixo na última casa, agora vou considerar os casos onde o "0" está fixo na segunda casa. Dessa forma, com o "0" fixo na segunda casa, temos 4 possibilidade de escolha para última casa, pois na última casa devemos ter um número par para que o número formado seja par (restam os números: 2,4,6,8). Depois de escolhido um número para terceira casa e com o "0" fixo na segunda, então restam 8 possibilidades de escolha para primeira casa. Assim, temos: 8x1x4 = 32 possibilidades de formar um número par com o "0" fixo na segunda casa.
Terceira parte: Vamos desconsiderar o número "0", uma vez que já calculamos anteriormente todas as possibilides de obter um número par utilizando o "0". Assim, desconsiderando o "0" temos no total 9 números, com 4 possibilidades de escolha para útlima casa, 8 possibilidades para primeira uma vez que já foi escolhido um número para última casa e 7 possibilidades de escolha para segunda casa. Temos: 8x7x4 = 224 possibilidades de formar um número par, desconsiderando o número "0".
Assim, somando as três partes: 72 + 32+ 224 = 328 possibilidades de formarmos um número par de três algarismos distintos.
Utilizando os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
a) Quantos números ímpares com 3 algarismos distintos eu posso formar?
Resolução:
Como queremos formar números ímpares então o número formado deve ter números ímpares na ultilma casa, sendo assim o número deve ser terminado em: 1,3,5,7,9, ou seja 5 possibilidades para ocupar a ultima casa do número.
Utilizando o principio fundamental contagem teremos => 8 x 7 x 5 = 280 possibilidades
b) Quantos números pares com 3 algarismos distintos eu posso formar?
Como queremos formar números pares então o número formado deve terminar em: 0,2,4,6,8 sendo assim 5 possibilidades
Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem teremos => 8 x 7 x 5 = 280 possibilidades
São três numeros Impares distintos ( 1,3,5,7,9 )
5 x 4 x 3 = 80 possibilidades . Note que as possibilidades vão dimuindo, pois eles precisam ser distintos !
Tem um curso gratuito de principio fundamental da contagem no meu pergil, aconselho que assista !
Vamos tratar cada restrição separadamente e depois multiplicar as possibilidades.
Restrição 1: O último dígito deve ser ímpar.
Há 5 opções para o último dígito (1, 3, 5, 7 ou 9).
Restrição 2: O primeiro dígito não pode ser 0.
Há 9 opções para o primeiro dígito (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9).
Agora, para o dígito do meio, uma vez que o último dígito e o primeiro dígito já foram escolhidos, restam 8 dígitos disponíveis (todos exceto o último dígito escolhido e o primeiro dígito escolhido).
Multiplicando as possibilidades para cada restrição, obtemos o número total de números ímpares de 3 algarismos distintos:
Número total = (Número de opções para o último dígito) * (Número de opções para o primeiro dígito) * (Número de opções para o dígito do meio)
Número total = 5 * 9 * 8
Número total = 360
Portanto, você pode formar 360 números ímpares de 3 algarismos distintos usando os dígitos de 0 a 9.
O último dígito deve ser um dígito par (0, 2, 4, 6 ou 8), pois um número é par se e somente se o último dígito é par.
O primeiro dígito não pode ser 0, pois um número de 3 algarismos não pode começar com 0.
Vamos tratar cada restrição separadamente e depois multiplicar as possibilidades.
Restrição 1: O último dígito deve ser par.
Há 5 opções para o último dígito (0, 2, 4, 6 ou 8).
Restrição 2: O primeiro dígito não pode ser 0.
Há 9 opções para o primeiro dígito (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9).
Agora, para o dígito do meio, uma vez que o último dígito e o primeiro dígito já foram escolhidos, restam 8 dígitos disponíveis (todos exceto o último dígito escolhido e o primeiro dígito escolhido).
Multiplicando as possibilidades para cada restrição, obtemos o número total de números pares de 3 algarismos distintos:
Número total = (Número de opções para o último dígito) * (Número de opções para o primeiro dígito) * (Número de opções para o dígito do meio)
Número total = 5 * 9 * 8
Número total = 360
Portanto, você pode formar 360 números pares de 3 algarismos distintos usando os dígitos de 0 a 9.
