Prismas 2

O volume que se pede é da região formada pela diferença entre o volume do cilindro e o volume do prisma hexagonal regular, uma vez que o segundo está inscrito no primeiro. Portanto:

A aresta e o raio tem o mesmo valor, então podemos colocá-los em evidência juntamente com a altura.

Portanto o volume da região é 234,799 cm³

Para calcular o volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro, precisamos calcular o volume do prisma e do cilindro separadamente e depois somá-los.

O prisma hexagonal regular tem 6 faces laterais que são hexágonos regulares congruentes, cada um com área de:

A = (3?3 / 2) x a² A = (3?3 / 2) x 6² A = 54?3 cm²

O volume do prisma é dado por:

V_prisma = A_base x h V_prisma = 6 x A x 12 V_prisma = 6 x 54?3 x 12 V_prisma = 3888?3 cm³

O cilindro tem raio igual à aresta do hexágono do prisma, ou seja, r = 6 cm, e altura de 12 cm. Portanto, o seu volume é dado por:

V_cilindro = ? x r² x h V_cilindro = ? x 6² x 12 V_cilindro = 432? cm³

Assim, o volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro é a soma dos volumes do prisma e do cilindro:

V_total = V_prisma + V_cilindro V_total = 3888?3 + 432? V_total ? 4766,72 cm³

Portanto, o volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro é de aproximadamente 4766,72 cm³.

Um prisma hexagonal regular de 6 cm de aresta da base está inscrito em um cilindro reto de altura 12 cm. Vamos calcular o volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro.

Para isso, podemos calcular o volume do prisma e o volume do cilindro, e depois somar ou subtrair, dependendo da abordagem escolhida.

1. Cálculo do volume do prisma hexagonal regular: O prisma hexagonal regular tem 6 faces laterais, cada uma delas um hexágono regular com área (3?3)/2 x a², onde a é a aresta do hexágono. Assim, podemos calcular o volume do prisma como:

Volume do prisma = área da base x altura Volume do prisma = (3?3)/2 x a² x h Volume do prisma = (3?3)/2 x 6² x 12 Volume do prisma = 54?3 cm³

2. Cálculo do volume do cilindro: O volume do cilindro pode ser calculado como:

Volume do cilindro = ? x raio² x altura Volume do cilindro = ? x (6/2)² x 12 Volume do cilindro = 36? cm³

Agora, vamos calcular o volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro usando as duas abordagens possíveis:

3. Soma dos volumes: Volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro = Volume do prisma + Volume do cilindro Volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro = 54?3 cm³ + 36? cm³ Volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro ? 227,42 cm³

4. Diferença dos volumes: Volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro = Volume do cilindro - Volume do prisma Volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro = 36? cm³ - 54?3 cm³ Volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro ? 936?3 - 108? cm³.
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Faço notar que

As respostas apresentadas pelos demais estão incorretas. O volume do prisma hexagonal regular está correto, mas o volume do cilindro foi calculado de forma errada, já que o raio do cilindro é igual à apótema do hexágono, e não à sua aresta. A apótema do hexágono pode ser calculada como ap = a?3/2, onde a é a aresta do hexágono. Assim, o raio do cilindro é r = ap = 6?3/2 = 3?3 cm. Portanto, o volume do cilindro é:

V_cilindro = ? x r² x h V_cilindro = ? x (3?3)² x 12 V_cilindro = 108??3 cm³

Somando o volume do prisma e do cilindro, temos:

V_total = V_prisma + V_cilindro V_total = 3888?3 cm³ + 108??3 cm³ V_total ? 173,84 cm³

Portanto, o volume da região delimitada pelo prisma e pelo cilindro é de aproximadamente 173,84 cm³.