Probabilidades e combinatória

Olá, Diana. Primeiramente, um prisma hexagonal possui 8 faces (2 bases e 6 faces laterais). Não sei se entendi muito bem. Você quer pintar as faces laterais? Supondo que seja esta a intenção, Se fossem 2 faces, de quantas maneiras você poderia fazer a pintura? 5 x 4=20 maneiras, correto? Se fossem 3 faces, o que ocorreria? Você teria 5 opções para a primeira face, 4 opções para a segunda e apenas 3 para a terceira, pois esta seria adjacente às outras duas. Total: 5 x 4 x 3=60 maneiras. Se fossem 4 faces, ficaria mais complicado. Veja, se você pensar na planificação (4 retângulos em fila), terá 5 x 4 x 4 x 4 = 320 possibilidades de pintura. Porém, pode ocorrer da última faixa ter a mesma cor da primeira, o que na montagem será um problema. Estas últimas possibilidades são em mesmo número das pinturas de 3 faces, porque você pode imaginar esta possibilidade como se a primeira e a última face fossem a mesma. Assim, há 320 - 60=260 possibilidades no total. Se forem 5 faces, você segue o mesmo raciocínio. Total de possibilidades: 5 x 4 x 4 x 4 x 4 - 260=1020. Para 6 faces, finalmente, você segue o mesmo raciocínio: pinta como se fossem planificadas e diminui as opções nas quais a primeira e a última faixa ficam da mesma cor (podendo ser vistas como a mesma face e, portanto, como se fossem parte de uma coloração com 5 faces). Total de possibilidades: 5 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 - 1020=4100. Esta questão é muito interessante. Se ficar alguma dúvida, espero que retorne. Obrigada.

Cara Professora Noemi.Z., a questão é esta: Pretende-se pintar as faces do prisma hexagonal de modo que duas faces com arestas comuns não tenham a mesma cor. Sabendo que existem 6 cores disponíveis, de quantas maneiras é possível pintar o prisma? quando vi a resolução percebi que podemos usar 3, 4, 5 ou 6 cores para pintar. O que não percebi foi o seguinte quando usamos as 6 cores: Tendo as bases a mesma cor, há 6 possibilidades para a cor das bases e sobram 5 cores, o que significa que uma cor é repetida nas faces laterais (situação do tipo 2?+?1?+?1?+?1?+?1 ). As faces com cores repetidas ocupam 3 posições possíveis, sendo que têm 5 possibilidades de cor e as faces de cores não repetidas originam 48 situações. Para mim há 24 possibilidades para dispor as 4 cores não repetidas, não percebo o 48.

Olá, Diana! Sua dúvida é somente em relação ao caso que usamos todas as 6 cores e pintamos as bases com a mesma cor? Se for o caso para resolvermos podemos usar analise combinatória para as seis faces restantes. Como teremos apenas cinco cores disponíveis para pinta-las precisamos de uma face com cor repetida. E somente uma pois queremos usar todas as seis cores, aqui fixamos a cor que será repetida, que como você apotou tem três posições relativas possíveis. Assim as opções possíveis para as quatro cores restantes nos espaços que sobram serão: 4.3.2.1 = 24 Portanto realmente para o caso que descreve o total de possibilidades seria apenas 24. Acredito que houve um equivoco por parte da resolução. Uma combinação de quatro cores não repetidas, onde a ordem importa geram apenas 24 possibilidades.