Uma biblioteca tem uma coleção de 72 livros e outra coleção de 96. Eles eles querem organizar essas coleções em prateleiras de forma que cada prateleira tem o mesmo número de livros não pode nenhum livro fora e não pode misturar os é o número máximo de livros que poderia ser colocados em cada e quantas prateleiras seriam usadas?
Problema:
Duas coleções de livros, com 72 e 96 livros cada uma, precisam ser organizadas em prateleiras. As seguintes restrições devem ser consideradas:
Objetivo:
Determinar o número máximo de livros por prateleira e a quantidade de prateleiras necessárias para organizar as coleções de livros de acordo com as restrições.
Solução:
Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC):
O MDC é o maior número que divide ambos os números (72 e 96) sem deixar resto. Encontrá-lo garante que o número de livros por prateleira seja o maior possível, respeitando as coleções individuais.
Organização das Coleções:
Com o MDC em mãos (24 livros por prateleira), podemos organizar cada coleção em prateleiras separadas:
Total de Prateleiras:
Ao somar as prateleiras de cada coleção, obtemos um total de 7 prateleiras:
Conclusão:
Com essa organização, as coleções de livros são mantidas separadas em 7 prateleiras, com o número máximo de livros por prateleira (24), atendendo a todas as restrições do problema.
No caso desse problema, o número máximo de livros que deve ser colocados em cada prateleira, corresponde ao máximo divisor comum entre os dois valores. A justificativa é que para que as prateleiras sejam iguais, e não sobre espaço em nenhuma delas, o número ideal será o MDC.
Como podemos calcular o MDC entre dois números, podemos fazer da seguinte forma, decompor cada um dos números separadamente, depois verificar os valores que são comuns entre eles e multiplica-los. A decomposição de número é feita apenas com os números primos, ou seja, números que só podem ser divididos de forma exata por 1 e por ele mesmo. Alguns números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...).
Os números do lado direito são os que são usados para decompor (números primos), os números do lado esquerdo são os resultados das divisões.
96 2 72 2
48 2 36 2
24 2 18 2
12 2 9 3
6 2 3 3
3 3 1
1
Temos para o número 96 = 2. 2. 2. 2. 2. 3 e para o número 72 = 2. 2. 2. 3. 3
Então os valores em comuns são 2. 2. 2. 3 = 24, portanto esse é o nosso MDC.
O valor máximo de livros para cada prateleira será de 24 livros.
96 : 24 = 4
72: 24 = 3
No caso para a parte de 96 livros será necessário 4 prateleiras e a parte com 72 livros será necessário 3 prateleiras, totalizando 7 prateleiras.
Esse é um problema de MDC ..
Fatorando temos;
96 | 72 = 2
48 | 36 = 2
24 | 18 = 2
12 | 9 = 2
6 | 9 = 2
3 | 9 = 3
1 | 3 = 3
1 | 1
MDC (96, 72) = 2 . 2 . 2 . 3 = 24
Então, basta dividirmos ambos os números por 24 e teremos a quantidade de prateleiras de cada coleção ...
96 : 24 = 4 prateleiras
72 : 24 = 3 prateleiras
As coleções de livros são mantidas separadas em 7 prateleiras, com o número máximo de 24 livros por prateleira.
Inicialmente devemos fazer o MDC (máximo divisor comum entre os números 72 e 96).
Usando o método da decomposição simultânea:
72 96 | 2 *
36 48 | 2 *
18 24 | 2 *
9 12 | 2
9 6 | 2
9 3 | 3 *
3 1 | 3
1 1
Feito isso, multiplicamos os fatores primos comuns: 2 x 2 x 2 x 3 = 24. Ou seja, o número de livros em cada prateleira será 24.
72 livros : 24 livros em cada prateleira = 3 prateleiras
96 livros : 24 livros em cada prateleira = 4 prateleiras
Logo, o total de prateleiras será 3 + 4 = 7
Esse é um problema clássico de MDC. Chegamos a essa conclusão juntando as informações de que cada prateleira deve conter o mesmo número de livros, que livros de coleções diferentes não podem se misturar e que queremos o número máximo de livros.
Fatorando os números, temos que:
• 72 = 2^3 * 3^2
• 96 = 2^5 * 3
Os termos que ambos possuem em comum é 2^3 * 3 (24). Essa resposta foi obtida escolhendo o menor expoente do número primo que apareça nas duas fatorações (escolhendo o expoente 3, no caso do número primo 2, e escolhendo o expoente 1, no caso do número primo 3). Perceba que 72 = 24 * 3 e 96 = 24 * 2^2. Assim, como 3 e 2^2 são primos entre si, o MDC (72, 96) = 24. Assim, a resposta que procuramos é 24.
Resposta: 24
É um problema de MDC, visto que quer o maior divisor possível para por os livros em cada prateleira.
Fatorando 72, temos: 2 * 2 * 2 * 3 * 3
Fatorando 96, temos: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3
O produto dos termos comum formam o MDC, logo temos: 2 * 2 * 2 * 3 = 24 livros por prateleira.
Em relação ao numero de prateleiras, seriam 3 para a primeira coleção (72/24), e 4 para a segunda coleção (96/24). Ao todo, 7 prateleiras.
Para organizar as coleções de livros em prateleiras de forma que cada prateleira tenha o mesmo número de livros, podemos utilizar o máximo divisor comum (MDC) entre o número total de livros de cada coleção. O MDC nos dará o maior número possível de livros que podem ser colocados em cada prateleira.
Primeiro, calculamos o MDC entre 72 e 96:
72 = 2^3 * 3^2 96 = 2^5 * 3
O MDC é 2^3 * 3 = 24.
Portanto, cada prateleira pode conter até 24 livros.
Agora, para calcular quantas prateleiras seriam usadas, dividimos o número total de livros em cada coleção pelo número de livros por prateleira:
Para a coleção de 72 livros: 7224=3 prateleiras.
Para a coleção de 96 livros: 9624=4 prateleiras.
Portanto, seriam usadas 3 prateleiras para a coleção de 72 livros e 4 prateleiras para a coleção de 96 livros.
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