Problema de geometria analitica

Para encontrar um vetor u? que seja ortogonal aos vetores v? e w?, podemos utilizar o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores é um vetor que é perpendicular a ambos.

O produto vetorial entre dois vetores v? = (v?, v?, v?) e w? = (w?, w?, w?) é dado por:

u? = (v?w? - v?w?, v?w? - v?w?, v?w? - v?w?)

Neste caso, temos:

v? = (2, 3, -1) w? = (2, -4, 6)

Calculando o produto vetorial entre v? e w?, temos:

u? = (3 * 6 - (-1) * (-4), (-1) * 2 - 2 * 6, 2 * (-4) - 3 * 2) = (18 - 4, -2 - 12, -8 - 6) = (14, -14, -14)

Agora, precisamos encontrar um vetor u? que tenha norma igual a 3?3. Podemos fazer isso normalizando o vetor u? encontrado, multiplicando-o pelo fator de escala necessário.

A norma de u? é dada por:

||u?|| = sqrt(u?² + u?² + u?²)

Neste caso, queremos que a norma seja igual a 3?3. Portanto, temos:

sqrt(14² + (-14)² + (-14)²) = 3?3

Podemos dividir todos os componentes de u? por 14 para obter a norma desejada:

u? = (14/14, -14/14, -14/14) = (1, -1, -1)

Portanto, o vetor u? = (1, -1, -1) é ortogonal aos vetores v? = (2, 3, -1) e w? = (2, -4, 6) e possui norma igual a 3?3.

Seja u = ( x, y, z) um vetor, devemos ter u ortogonal a (2,3,-1) e a (2,-4,6) isso é o mesmo que pedir que o produto escalar de u por esses vetores seja nulo, isto é:

(x,y,z)•(2,3,-1) = 0 --> 2x +3y -z = 0 (I) 

(x,y,z)•(2,-4,6) = 0 --> 2x - 4y +6 z = 0 (II) 

Fazendo (I) - (II) temos que 7y - 7 z = 0 --> y = z. Substituindo isso em (I) temos 2x+3y - y=0 --> 2x+2y=0 --> x=-y

Assim, os vetores u que estamos procurando são da forma (x , - x , -x). Agora, vamos usar a informação dada sobre a norma, a norma dos vetores u são dadas por

||u|| =

Devemos ter então:

Assim, temos que 3x² = 27 --> x = 3 ou  x = -3. Portanto, os vetores que satisfazem o que foi pedido no enunciadosão:

u = (3, - 3, -3)  ou u = ( -3, 3, 3)