Problema de indução matematica

A solução é mais fácil do que você imagina, mas eu também demorei a notar.

Bem, a base você sabe, você prova a fórmula para n = 1, o que é simplesmente dizer que 1/3 < 1/2 .

Agora o passo, supomos que essa desigualdade vale para um certo n, isto é, que para um certo n, temos

1/3 + ... + 1/3^n < 1/2

E vamos mostrar que assumindo isso teremos que a soma até o termo 1/3^(n+1) também será menor do que 1/2 .

Ora, note que, colocando 1/3 em evidência:

1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^n + 1/3^(n+1) = 1/3 ( 1 + 1/3 + ... + 1/3^n ) 

Por hipótese de indução, 1/3 + ... + 1/3^n < 1/2 , então teremos:

1/3 ( 1 + 1/3 + ... + 1/3^n ) < 1/3 (1 + 1/2) = 1/3 + 1/6 = 1/2

C.Q.D.