Progressão geométrica com k

Para que tenhamos umas P.G, o quadrado do termo central deve ser igual ao produto dos extremos.

(K-2)² = K . 1

K² - 5k + 4 = 0

Temos duas raizes possíveis: K= 1 ou K = 4

Para K = 4 teremos uma PG decrescente.

(4, 2,1)

Espero ter ajudado. Bons estudos.

Uma progressão geométrica (PG) é caracterizada por uma razão constante entre seus termos consecutivos. Para a sequência (K, K-2, 1) ser uma PG decrescente, a razão entre os termos deve ser menor que 1.

A razão (r) é dada pela divisão do termo seguinte pelo termo anterior. Vamos calcular:

r= (K-2)/K

Para a PG ser decrescente, r<1. Resolvendo a desigualdade:

(K-2)/K < 1

Multiplicando ambos os lados por K (lembrando que K não pode ser zero, pois está no denominador): K-2< K

Subtraindo K de ambos os lados:  -2<0

A desigualdade é sempre verdadeira, o que significa que para qualquer valor de K, a sequência (K, K-2, 1) será uma PG decrescente. Portanto, não há restrições específicas sobre o valor de K nesse caso.

Bom dia Lee. Vamos lá:

Determine o número K  para que a sequência ( K, K-2, 1) seja uma pg decrecente

Numa P.G, o termo central é a média geométrica dos termos adjacentes. Logo, (K - 2) = (K * 1 )^1/2.

Elevando ambos os termos ao quadrado, teremos (K - 2)² = K------------> K² - 2.K.2 + 2² = K ------------>K² - 4K + 4 = K.

Chegamos a equação do segundo grau, K² - 5K + 4 = 0. Logo, K = [5 +/- [(5² - 4.1.4)]^1/2 ] / 2.1 --------> K₁ = 4 e K₂ = 1. Vamos testar as duas raízes.

- Para K₁ = 4--------------> a P.G. será (4,2,1) , portanto decrescente.

- Para K₂ = 1--------------->a P.G será (1, -1, 1) e portanto não é decrescente e não nos interessa.

O K que nos interessa é igual a 4.

Sucesso!!!!!!!!!!!!!!

Suponha que a razão da P.G. seja a constante . Temos, então:

Isolando nas duas equações, obtemos:

Consequentemente,

Multiplicando em cruz,

Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos as soluções

.

Caso 1: Se , obtemos a PG , que claramente é uma P.G. decrescente, cuja razão é .

Caso 2: Se , obtemos a PG , cuja razão é , porém não é uma PG decrescente.

Portanto a solução buscada é .