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Prove por indução

Matemática Ensino Superior

Prove por indução que:

(1+1).(1+1/2).(1+1/3)...(1+1/n)=n+1 , ?n ? N*

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Caroline perguntou há 4 anos

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Professor Paulo B.
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Respondeu há 4 anos

Caroline, boa tarde. Tudo bem?

Tem certeza que é essa a questão? Conseguiria mandar uma foto ou escrevê-la novamente?
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Professor Vinicius B.
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Respondeu há 4 anos

Base da indução: n=1; \left(1+\frac{1}{1}\right)=1+1.

Hipótese da indução: suponha válida a propriedade \left(1+\frac{1}{1}\right)\dots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1   \forall n\leq k

Passo da indução: \left(1+\frac{1}{1}\right)\dots\left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right) (aplicando a hipótese da indução)

Simplificando, temos: (k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)\left(\frac{k+2}{k+1}\right)=k+2=(k+1)+1, concluindo a prova.

 

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