Para determinar as posições relativas entre a circunferência ?, a reta u e o ponto P, podemos substituir as coordenadas do ponto P nas equações da circunferência e da reta e analisar os resultados.
Equação da circunferência ?: x^2 + y^2 = 2 Substituindo as coordenadas do ponto P = (1, 1): 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 O ponto P satisfaz a equação da circunferência ?.
Equação da reta u: y = -x + 2 Substituindo as coordenadas do ponto P = (1, 1): y = -1 + 2 = 1 O valor de y no ponto P é igual a 1.
Analisando os resultados, podemos concluir que:
Portanto, a alternativa correta é: c) A reta u é tangente à circunferência ? e o ponto P é externo à circunferência.
Para determinar a posição relativa entre a circunferência ?, a reta u e o ponto P, podemos substituir as coordenadas de P nas equações da circunferência e da reta e verificar as relações resultantes.
Circunferência ?: x² + y² = 2 Reta u: y = -x + 2 Ponto P: (1, 1)
Substituindo as coordenadas de P na equação da circunferência: 1² + 1² = 2 2 = 2
A igualdade é verdadeira, o que significa que o ponto P está sobre a circunferência ?.
Substituindo as coordenadas de P na equação da reta u: 1 = -(1) + 2 1 = 1
A igualdade também é verdadeira, o que indica que o ponto P está sobre a reta u.
Portanto, a alternativa correta é:
e) A reta u é tangente à circunferência ? no ponto P.
A maneira mais rapida de resolver essa questão é aproveitar a simplicidade das equaçoes e imaginar os graficos para cada um deles.
eq1: x^(2)+y^(2)=2 -> por ter duas inconitas elevadas a 2 e ambas estarem sendo multiplicadas por 1, entendemos ser uma circunferencia com centro na origem (0;0)
eq2: y=-x+2 -> esse é o formato dado por uma reta (y=ax+b), como o x está negativo, sabemos que é uma reta decrescente, e como está sendo somado 2, podemos dizer que é uma reta que cruza o eixo y em +2 e o eixo x em +2.
Tendo o formato das duas equaçoes em mente precisamos saber encontrar a alternativa verdadeira, para isso precisamos saber se a reta é tangente (encosta apenas em um ponto da circunferencia) secante (encosta duas vezes na circunferencia) ou externa (não encosta na circunferencia) e também se o ponto P(1;1) faz parte da circunferencia.
Subistituindo o ponto P nas duas equações temos:
eq1: 1^(2)+1^(2)=2 -> 2=2, como é verdade, sabemos que o ponto P faz parta da circunferencia
eq2: 1=-1+2 -> 1=1, por ser verdade, sabemos que o ponto P faz parte da reta e ainda descobrimos que a reta encosta na circunferencia uma vez, pois ambas compartilham o mesmo ponto entre sí.
A solução gráfica é bem mais rápida:
https://www.geogebra.org/graphing/gzf48mgq
Para verificar a posição relativa entre a reta e a circunferência, podemos substituir a equação da reta na equação da circunferência. O número de soluções nos indicará se a reta é secante (duas soluções), tangente (uma solução) ou externa (nenhuma solução) à circunferência.
A equação da circunferência é x² + y² = 2. Substituindo y por -x + 2 (a partir da equação da reta), obtemos:
x² + (-x + 2)² = 2
x² + x² - 4x + 4 = 2
2x² - 4x + 2 = 0
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
A equação acima tem uma única solução (x = 1), o que significa que a reta é tangente à circunferência.
Para verificar se o ponto P = (1, 1) pertence à reta ou à circunferência, basta substituir as coordenadas do ponto nas equações dadas:
Para a circunferência:
1² + 1² = 2, que é verdade.
Para a reta:
1 = -1 + 2, que também é verdade.
Portanto, o ponto P pertence tanto à reta quanto à circunferência, que são tangentes entre si. Logo, a alternativa correta é a:
e) A reta u é tangente à circunferência ? no ponto P.