Qual deve ser o valor de “m” na função polinomial do 2o grau

Para determinar o valor de $m$ que faz o valor mínimo da função $f(x)=(5+m)x^2-mx+1$ ser $-\frac{1}{8}$, precisamos usar o conceito de vértice de uma parábola.

A função polinomial do segundo grau $f(x)=a{x}^2+bx+c$ atinge seu valor mínimo (ou máximo, dependendo do coeficiente de $a$) no vértice, cuja coordenada $x$ é dada por:

Neste caso, temos: - $a=5+m$ - $b=-m$ - $c=1$

O valor de $x$ na posição do vértice será:

O valor mínimo de $f(x)$ (que ocorre no vértice) pode ser encontrado substituindo $x_v$ na equação original:

Simplificando a expressão:

Queremos que $f(x_v)=-\frac{1}{8}$:

Multiplicando ambos os lados por $4(5+m)$:

Multiplique os dois lados por $2$ para eliminar o denominador:

Resulta em:

Traga todos os termos para um lado da equação:

Multiplicando a equação por $-1$ para facilitar:

Agora, usando a fórmula de Bhaskara ($m=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$):

Neste caso: - $a=2$ - $b=-9$ - $c=-45$

Duas soluções:

ou

Portanto, os valores possíveis para $m$ são $7.5$ e $-3$.