Pelo que nossos registros históricos mostram, o cálculo integral surgiu para solucionar o cálculo de áreas. Após muitos matemáticos explorarem e formularem a teoria do cálculo diferencial, as aplicabilidades foram aumentando. Assim, chegamos ao cálculo integral sobre regiões, normalmente circulares, em que a integração, por meio das coordenadas retangulares, torna-se trabalhosa. Para facilitar essa integração, as coordenadas polares foram introduzidas, como pudemos conferir nos nossos estudos.
Sabemos que, na maioria das vezes, os faróis de carros têm formato cilíndrico. Suponha que um modelo de farol tenha o mesmo volume do sólido que está sob o paraboloide acima do plano e dentro do cilindro
se
e suas unidades de medida são dadas em centímetros, qual é o volume desse farol?
Boa noite, Marcos!
Acho que houve um erro de digitação no seu enunciado em , irei interpretar isso como
. Além disso, acho que faltou a informação de que o paraboloide está limitado pelo plano
.
Dito isso, precisamos passar as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, onde nosso volume será dado por uma integral da forma , sendo que
,
e
. Note que em coordenadas cilíndricas
,
é a distância de um ponto ao eixo
.
Veja que está limitado por
e pelo plano
, assim,
, ou seja,
.
Além disso, note que quando , nós temos que
, ou seja,
é a distância máxima até o eixo
. Assim,
pode assumir os valores entre
e
, ou seja,
e
pode assumir os valores entre
e
, então
.
Como estamos calculando volume, temos que .
Assim, o volume do farol será dado por
Conforme o problema pede, vamos considerar , assim, o volume do farol será
.
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