Qual o valor da área?

Para determinar o retângulo que possui a maior área entre todos os possíveis retângulos com perímetro igual a 80 cm, vamos usar as propriedades geométricas.

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro $P$ de um retângulo é dado pela fórmula:

onde $l$ é o comprimento e $w$ é a largura. No problema, temos $P=80$:

Queremos maximizar a área $A$ do retângulo, que é dada por:

Podemos expressar $w$ em termos de $l$ a partir da equação do perímetro:

Substituindo na fórmula da área:

A fórmula da área agora é uma função quadrática:

Esta é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $l^2$ é negativo), e a área máxima será no vértice dessa parábola. A coordenada $l$ do vértice de uma parábola $A{x}^2+Bx+C$ é dada pela fórmula:

Aqui, $A=-1$ e $B=40$, então:

Se $l=20$, então da equação $l+w=40$ temos:

Portanto, o retângulo com perímetro 80 cm que possui a maior área é, na verdade, um quadrado com lados de 20 cm.

A área máxima, então, é:

Portanto, a área máxima entre todos os possíveis retângulos com perímetro igual a 80 cm é $400{\text{cm}}^2$.