Para resolver o problema de quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 sem repetições e incluindo sempre o algarismo 4, siga os passos abaixo:
O algarismo 4 pode ocupar qualquer uma das três posições em um número de três algarismos:
Isso nos dá 3 possibilidades.
Depois de colocar o algarismo 4 em uma das posições, restarão 8 algarismos (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9) para preencher as outras duas posições. Como não pode haver repetições, a escolha dos outros dois algarismos será feita sem substituição.
Para cada uma das 3 posições ocupadas pelo algarismo 4, escolhemos 2 algarismos dos 8 restantes para as outras duas posições. O cálculo do número de maneiras de escolher 2 algarismos de 8 sem repetição é dado por:
Aqui, 8 opções para a primeira posição e, após escolher um, restam 7 opções para a segunda posição.
Para cada uma das três posições ocupadas pelo algarismo 4, há combinações diferentes dos outros dois algarismos. Como o algarismo 4 pode ser em qualquer uma das três posições, temos:
Portanto, podemos formar 168 números de três algarismos, sem repetições, contendo sempre o algarismo 4.
Dado que o número de três algarismos sempre deve incluir o algarismo 4, devemos primeiramente escolher em qual das três posições o algarismo 4 estará. Podemos colocar o 4 em qualquer uma das três posições (centena, dezena ou unidade).
Há 3 escolhas possíveis para a posição do algarismo 4.
Agora que o algarismo 4 está fixado em uma posição, precisamos escolher os outros dois algarismos. Eles devem ser escolhidos dos números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9 (pois o 4 já foi utilizado e não pode ser repetido).
Para a primeira posição restante (aquela que ainda não foi preenchida), temos 8 opções, e para a segunda posição restante, temos 7 opções (já que um número foi escolhido para a outra posição).
Multiplicamos as escolhas possíveis:
Portanto, o número total de combinações possíveis é:
Logo, podemos formar 168 números de três algarismos sem repetições, sempre incluindo o algarismo 4.
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