Quem me ajuda nesta questão por favor?agradeço!!!

Os valores máximo e minimo da função F(x,y,z) x+2y+z/2, sujeito a restrição x²+y²+z²=25 são, respectivamente:

12,72 e -12,72
2,88 e -2,88
8,66 e -8,66
11,45 e -11,45
14,43 e -14,43

Igor S.
Igor
perguntou há 1 mês

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Professor Allysson A.
Respondeu há 3 semanas
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Olá Igor, para responder esse tipo de questão, utilizamos o método dos Multiplicadores de Lagrange.

Sendo f(x,y,z) = x+2y+z/2 e g : x²+y²+z²=25 devemos ter:

grad f(x,y,z)= L.grad g(x,y,z)

Onde,
grad f(x,y,z) = 1.i + 2.j + (1/2)k = (1,2,1/2)
e
grad g(x,y,z) = 2x.i + 2y.j + 2z.k = (2x,2y,2z)

Assim, (1,2,1/2) = L(2x,2y,2z) e dessa igualdade segue:

1 = 2xL => L = 1/2x (equação 1)

2 = 2yL => L = 1/y (equação 2)

1/2 = 2zL => L = 1/4z (equação 3)

Igualando as equações 1 e 2 tem-se 2x = y
Igualando as equações 1e 3 tem-se z = x/2

Agora, substituímos y e z na restrição g: x² + y² + z² = 25

x² + 4x² + x²/4 = 25 => 21x² = 100 => x = +-sqr(100/21) = +-10sqr(21)/21 obs: sqr = raiz quadrada

Agora que obtemos os valores de x, segue:

Para x = 10sqr(21)/21 temos y = 20sqr(21)/21 e z = +10sqr(21)/42
e
Para x = -10sqr(21)/21 temos y = -20sqr(21)/21 e z = -10sqr(21)/42

Por fim, basta substituir esses valores em f(x,y,z) e obteremos nossos valores máximo e mínimo.
No caso, máximo 11,45 e mínimo -11,45.

Espero ter ajudado.

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