Um cercado deve abrigar três animais ao todo, sendo este preenchido por um grupo de 18 animais machos e um grupo de 17 animais fêmeas, para cada animal em um grupo há outro do sexo oposto no outro. É proibido no cercado ter animais de sexos contrários (exemplo: macaco com macaca, porco com porca etc) juntos, permitindo-se misturar animais do mesmo grupo/sexo. Excepcionalmente, há uma fêmea com dois machos, uma galinha e dois galos, impedindo-se de misturar tanto galo com galinha quanto ambos os galos. Quantas são as possibilidades de trios no cercado?
Boa noite, Rodrigo!
Resposta: 5920 possibilidades.
Solução:
Para encontrar a quantidade de possibilidades de trios vamos utilizar a lógica de que
, onde
são todos os trios sem as restrições de não poder ter animais do sexo contrário no mesmo cercado, e
são todos os trios proibidos, ou seja, os trios com restrições.
é o total de combinações envolvendo os 35 animais (18 machos e 17 fêmeas) podendo ocupar 3 vagas, ou seja
, e simplificando obtemos
possibilidades.
Com exceção da galinha, há 16 fêmeas, então a quantidade de combinações proibidas envolvendo as outras 16 fêmeas é (1), pois excluindo o macho e a fêmea de uma espécie ainda sobram 33 animais para ocupar uma vaga no cercado.
Agora, os casos proibidos envolvendo galinha e galo ou galo e galo:
Caso 1: galinha e galo A, temos 33 animais para ocupar uma vaga, então para o caso 1 temos possibilidades (incluindo com o galo B).
Caso 2: galinha e galo B, temos 33 animais para ocupar uma vaga, então para o caso 2 temos possibilidades (incluindo com o galo A).
Caso 3: galo A e galo B, temos 33 animais para ocupar uma vaga, então para o caso 3 temos possibilidades (incluindo com a galinha).
Perceba que contamos 3 vezes o caso galinha - galo A - galo B, ou seja, temos contamos duas vezes a mais esse caso, então o total de casos proibidos a galinha, o galo A e galo B será
(Caso 1 + Caso 2 + Caso 3) - 2 = 33 + 33 + 33 - 2 = 97 (2).
Então, somandos os valores em (1) e (2) temos que o total de casos proibidos é igual a .
E finalmente, o total de casos permitidos é .
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