João precisou ir ao banco fazer a troca da senha do seu cartão. O funcionário do banco informou ao João que a senha precisaria ter 4 dígitos numéricos distintos. João, supersticioso como é, decidiu que o primeiro algarismo será um número múltiplo de 3, que o último algarismo será um número ímpar e que os algarismos do meio serão, ambos, pares. Sendo assim, o número de diferentes formas que João pode escolher sua nova senha, é:
A) 98 senhas. B) 72 senhas. C) 180 senhas. D) 220 senhas. E) Nenhuma das alternativas anteriores.
O gabarito trouxe a letra D, mas não consegui chegar nesse resultado.
__ __ __ __ 4 dígitos diferentes
Sabemos que a primeira opção deve ser 3,6 ou 9, e esta é a principal condição, pois ela que irá balizar as outras duas.
CASOS POSSIVEIS
1) Se o primeiro dígito for 6
6 __ __ __ = 4*3*5=60 opções
1 4 3 5 (Número de opções)
2) Se o primeiro dígito for 3 ou 9
__ __ __ __ = 2*5*4*4 = 160 opções
2 5 4 4 (Número de opções)
Como os dois casos não podem ocorrer simultaneamente, pois OU ocorre o caso 1 OU ocorre o caso 2, basta somar 60+160 = 220 senha. Letra D
Vamos analisar a resposta do problema com o seguinte algorítmo:
temos 5 algarismos pares (0, 2, 4, 6, 8)
temos 5 algarismos ímpares (1, 3, 5, 7, 9)
temos 3 algarismos divisíveis por 3 (3, 6, 9)
vamos pensar primeiro nos pares. Para os pares temos então que cada par poderá fazer par com 4 outros números, então temos:
pares de par = par * (par -1). Na hora de multiplicar vamos usar par * (par - 1)
Agora vamos para cada multiplo de 3:
3 pode com qualquer par, mas com apenas 4 ímpares: 1 * par * (par -1) * impar, ou seja: 1 * 5 * 4 * 4 = 80
6 é par, então tiramos mais um número dos pares: 1 * (par - 1) * ((par -1) - 1) * impar, ou seja: 1 * 4 * 3 * 5 = 60
9 é impar então: 1 * par * (par - 1) * impar: 1 * 5 * 4 * 4 = 80
Agora só somar tudo: 80 + 60 + 80 = 220
Vamos resolver o problema passo a passo.
Para a senha do cartão de João, temos as seguintes restrições:
O primeiro algarismo deve ser um número múltiplo de 3.
Os algarismos do meio devem ser pares.
O último algarismo deve ser um número ímpar.
Os quatro dígitos numéricos devem ser distintos.
Vamos analisar cada uma dessas restrições separadamente:
Restrição 1: O primeiro algarismo deve ser um número múltiplo de 3.
Existem quatro números múltiplos de 3 no conjunto de dígitos de 0 a 9: 0, 3, 6 e 9.
Obs.: O número zero pertence ao conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, ou seja, o número zero é múltiplo de todo número inteiro.
Restrição 2: Os algarismos do meio devem ser pares.
Existem cinco números pares no conjunto de dígitos de 0 a 9: 0, 2, 4, 6 e 8.
Como os algarismos do meio devem ser distintos, temos 5 escolhas para o primeiro algarismo do meio e 4 escolhas para o segundo algarismo do meio.
Restrição 3: O último algarismo deve ser um número ímpar.
Existem cinco números ímpares no conjunto de dígitos de 0 a 9: 1, 3, 5, 7 e 9.
Restrição 4: Os quatro dígitos numéricos devem ser distintos.
Temos 4 opções para a primeira posição. Analisemos cada uma separadamente:
0 -> 4 * 3 * 5 = 60; obs.: escolhendo o zero na primeira posição, exclui-se a possibilidade de selecioná-lo na segunda e terceira posições. Além disso, a segunda posição impossibilita que o mesmo algarismo apareça na terceira.
3 -> 5 * 4 * 4 = 80; obs.: escolhendo o três na primeira posição, exclui-se a possibilidade de selecioná-lo na quarta.
6 -> 4 * 3 * 5 = 60; obs.: escolhendo o seis na primeira posição, exclui-se a possibilidade de selecioná-lo na segunda e terceira posições. Além disso, a segunda posição impossibilita que o mesmo algarismo apareça na terceira.
9 -> 5 * 4 * 4 = 80; obs.: escolhendo o nove na primeira posição, exclui-se a possibilidade de selecioná-lo na quarta.
Portanto, o número de diferentes formas que João pode escolher sua nova senha seria 280. Na minha opinião deveria ser marcada a letra E) Nenhuma das alternativas anteriores.
Caso o gabarito dê como resposta a letra D), sugiro que peça anulação da questão.
Outra questão importante, se o zero não aparecesse na lista de múltiplos de 3, ele também não deve aparecer na lista de múltiplos de 2. Se fosse esse o caso, a quantidade de possibilidades diferentes seria S = 4 * 3 * 4 + 3 * 2 * 5 + 4 * 3 * 4 = 126.