"Em uma noite com fogueira, 4 garotas e 10 rapazes formam um círculo para dançar juntos. Se lá deve haver pelo menos dois alunos do sexo masculino entre cada duas alunas. De quantas maneiras diferentes podem se dispor para essa dança?"
Clara,
Primeiramente podemos dispor as 4 garotas em um círculo, ficando 4!/4 = 3! - Permutação circular = (n-1)!
Não tenho recurso para desenhar aqui no espaço de resposta, mas imagine um círculo com seus quartos divididos pelas garotas G1, G2, G3 e G4
G1
G2 O G4
G3
Conseguimos fazer 3! Ou 6 desenhos desses diferentes, mas vamos tomar esse como modelo.
Agora para dispor os meninos no círculo, temos que levar em consideração a condição de que deve ter pelo menos 2 meninos entre cada 2 meninas, ou seja:
entre G1 e G2 e entre G3 e G4 ou
entre G2 e G3 e entre G4 e G1
Vou colocar os meninos entre G1 e G2 e entre G3 e G4, e a quantidade de combinações vou multiplicar por 2 para considerar a segunda hipótese acima:
Entre G1 e G2 vou fixar 2 meninos que é o mínimo, e como temos 10 meninos teremos 10 . 9
Entre G3 e G4 farei o mesmo, vou fixar mais dois meninos, mas agora só tenho 8 meninos disponíveis, logo 8 . 7
Como já fixamos o mínimo de 2 meninos entre cada duas meninas, os outros 6 poderão ficar em qualquer lugar (entre G1 e G2 ou entre G3 e G4)
Para isso vou usar uma permutação simples entre eles para preencher os demais espaços, mas vou inserir nesta permutação 1 elemento, ficando 7!
Esse elemento que inseri é como se fosse o bloco composto pelas garotas G2 e G3 e os dois meninos já selecionados entre G3 e G4 , pois esse bloco permutando junto aos 6 meninos me dá todas as possíveis formações desde nenhum menino a mais entre G1 e G2 até todos os 6 meninos entre G1 e G2.
Então para dispor os meninos em cada círculo formado pelas meninas teremos:
10 . 9 . 8 . 7 . 7! = 7 . 10!
Mas lembra que tem que dobrar? afinal os meninos também podem estar entre entre G2 e G3 e entre G4 e G1, e para isso usamos a mesma lógica e os mesmos cálculos acima
2 . 7 . 10! = 14 . 10!
Como isso acontece a cada formação das meninas, então temos que multiplicar por 3! para concluir as possibilidades:
3! . 14 . 10!
6 . 14 . 3 628 800
304 819 200
De quantas maneiras diferentes podem se dispor para essa dança? De 304 819 200 maneiras diferentes
Espero ter ajudado.
Fique com Deus!
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