Questoes sobre cilindro e cone.

1) Um reservatório tem o formato de um cilindro equilátero e capacidade de 40? litros. Determine sua altura em cm.

2) Considere um cone reto cuja sua geratriz faça um ângulo de 30° com sua altura. Determine o volume desse cone reto se o raio da base mede 7m

3) Um cone reto de raio da base igual 3,2 cm e altura 2,7 cm possui área total (cm²) e volume (cm³), igual a?

 

 
Maria L.
Maria
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Professor Rodrigo S.
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1) Um cilindro é considerado equilátero quando o diâmetro do círculo em suas bases é igual a medida da altura do cilindro.

Logo, se temos um cilindro com 40pi litros de volume, sabemos que: 40pi dm^3 = 40.000pi cm^3 = Ab.h  (1 dm^3 = 1 litro = 1000 cm^3)

A área do círculo é pi.r^2, neste caso, sabemos que o d = h (diâmetro é igual à altura), ou seja r = h/2.

Então, a Ab (área da base do cilindro) = pi.(h/2)^2. Logo, 40.000pi = pi.(h^2/4).h

40.000 = h^3/4

160.000 = h^3

h = 20.(raiz cúbica de 20) cm.

 

2) Quando olhamos a secção meridiana do cone reto, a geratriz seria o equivalente aos lados idênticos do triângulo isósceles.

Então podemos trabalhar com uma figura plana, mais precisamente um triângulo isósceles. Se traçarmos a altura deste triângulo isósceles conseguimos dois triângulos retângulos idênticos com base de 7m e o ângulo oposto à essa base igual a 30º.

A partir disso podemos descobrir a altura do triângulo e do cone, a única informação necessária para calcularmos o volume deste cone.

A relação trigonométrica que relaciona dois catetos é a da tangente. Logo, tag 30º = 7/h

(raiz de 3)/3 = 7/h

(raiz de 3).h = 21

h = 21/(raiz de 3)

h = 21.(raiz de 3)/3 [racionalizamos aqui, que é multiplicar o numerador e o denominador por (raiz de 3)]

h = 7.(raiz de 3) m

Sabendo a altura do cone, agora podemos determinar seu volume.

V = Ab.h/3 = (pi.7^2). 7.(raiz de 3)/3

V = 343.(raiz de 3).pi/3 m^3

 

3) O cálculo do volume é bem direto, já sabendo a medida do raio da base e da altura, podemos descobrir por meio de V = Ab.h/3

V = pi.(3,2)^2 . 2,7/3

V = pi.10,24 . 0,9 = 9,216. pi cm^3

 

E a área total é conseguida pela soma da área lateral com a área da base.

A área da base já foi conseguida e vale 10,24pi cm^2.

A área lateral depende da geratriz, para isso precisamos calculá-la.

A geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo de base e altura similares ao cone.

Logo, g^2 = b^2 + h^2

g^2 = 10,24 + 7,29

g^2 = 17,53

g = raiz de (17,53)cm

A área lateral pode ser calculada como: Al = pi.r.g

Al = pi.3,2.raiz de (17,53) cm^2

Logo, a área total equivale a

At = Ab + Al

At = pi.3,2.3,2 + pi.3,2.raiz de (17,53)

At = pi.3,2. (3,2 + raiz de (17,53))cm^2

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