Raio triangulo inscrito e circunscrito

Raio da circunferência inscrita 

A área de um triângulo é o produto do raio da circunferência inscrita ao triângulo pelo semi-perímetro (soma dos lados dividido por 2). Então se acharmos a área desses triângulos, conseguimos achar o raio da circunferência inscrita.

área = r . p, onde r é o raio da circunferência inscrita e p é o semi-perímetro

Raio da circunferência circunscrita

A área de um triângulo é o produto das medidas dos 3 lados dividido por 4 vezes o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Então se acharmos a área desses triângulos, conseguimos achar o raio da circunferência circunscrita.

área = a.b.c / 4R, onde R é o raio da circunferência circunscrita e a, b, c são as medidas dos lados do triângulo

a) 6,7,8

Podemos usar a fórmula de Herão:

área² = p(p?a)(p?b)(p?c), onde p é o semi-perímetro e a, b, c são as medidas dos lados do triângulo

área² = (21/2).(21/2 - 6).(21/2 - 7).(21/2 - 8)

área² = (21/2).(9/2).(7/2).(5/2)

Agora vamos achar o raio da circunferência inscrita:

área = r . p

área² = r² . p²

(21/2).(9/2).(7/2).(5/2) = r² . (21/2)²

(9/2).(7/2).(5/2) = r² . (21/2)

(9/2).(7/2).5 = r² . 21

(9/2).(1/2).5 = r² . 3

(3/2).(1/2).5 = r²

15/4 = r²

r = raiz(15)/2

Agora vamos achar o raio da circunferência circunscrita:

área = a.b.c / 4R

área² = a².b².c² / 16R²

(21/2).(9/2).(7/2).(5/2) = a².b².c² / 16R²

(21/2).(9/2).(7/2).(5/2) = 5².7².9² / 16R²

(21/2).(1/2).(1/2).(1/2) = 5.7.9 / 16R²

(21).(1).(1).(1) = 5.7.9 / R²

3 = 5.9 / R²

1 = 5.3 / R²

R² = 15

R = raiz(15)

b) 6,8,10

Esse é um triângulo retângulo, então podemos achar a área fazendo o produto da base vezes a altura dividido por 2:

área = 6.8/2

área = 24

Agora vamos achar o raio da circunferência inscrita:

área = r . p

24 = r . 12

2 = r

Agora vamos achar o raio da circunferência circunscrita:

área = a.b.c / 4R

24 = 6.8.10 / 4R

3 = 6.10 / 4R

1 = 2.10 / 4R

1 = 5 / R

R = 5